Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, tais que a_{n} \rightarrow 2 quando n \rightarrow+\infty e b_{n}=(-1)^{n}. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
\left\{3 a_{n}-1\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência \{a_{n}\} tal que \lim_{n\to\infty}a_{n}=2 e pede para determinar se a sequência \{3a_{n}-1\} converge ou diverge, indicando o limite quando existir. Vamos usar as propriedades de limites de sequências, em particular a linearidade.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade de limites, se \lim_{n\to\infty}a_{n}=2 então
\lim_{n\to\infty}3a_{n}=3\cdot\lim_{n\to\infty}a_{n}=3\cdot2=6.

Passo 3

Ainda usando linearidade, ao subtrairmos 1 temos
\lim_{n\to\infty}(3a_{n}-1)=\lim_{n\to\infty}3a_{n}-\lim_{n\to\infty}1=6-1=5.

Resposta

A sequência \{3a_{n}-1\} converge e seu limite é 5.

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