Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, tais que a_{n} \rightarrow 2 quando n \rightarrow+\infty e b_{n}=(-1)^{n}. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
\left\{\frac{1}{a_{n}^{2}+3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência \displaystyle\biggl\{\frac{1}{a_{n}^{2}+3}\biggr\},
sabendo que \{a_{n}\} converge para 2. O conteúdo envolvido é o cálculo de limite de sequência e o uso das propriedades de operações com limites.

Passo 2

Pela propriedade de limite de potência e continuidade da função x\mapsto x^{2}, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=2 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_{n}^{2}=\bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n}\bigr)^{2}=2^{2}=4.

Passo 3

Aplicando a propriedade de soma de limites (uma função constante soma) obtemos
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}^{2}+3\bigr) =\lim_{n\to\infty}a_{n}^{2}+\lim_{n\to\infty}3 =4+3=7.

Passo 4

Por fim, como a função x\mapsto 1/x é contínua em x=7, vale
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}^{2}+3} =\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(a_{n}^{2}+3\bigr)} =\frac{1}{7}.

Resposta

A sequência \displaystyle\bigl\{1/(a_{n}^{2}+3)\bigr\} converge e
seu limite é \displaystyle\frac{1}{7}.

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