Considere as sequências
e
, tais que
quando
e
. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
e pede para analisar a convergência da sequência
O conteúdo aqui é teste de convergência de sequência numérica: lembramos que
converge para
se, e somente se, todo ε-vizinhança de
contém
para
suficientemente grande, ou equivalentemente todas as suas sub-sucessões têm o mesmo limite.
Passo 2
Escrevemos explicitamente o termo geral:
Isso significa que, para cada
, o valor de
é ou
(quando
é par) ou
(quando
é ímpar).
Passo 3
Para ver se há limite, observamos as duas sub-sucessões:
- Se
(par), então
- Se
(ímpar), então
Como essas duas sub-sucessões têm limites diferentes
e
, não existe um único
que seja limite de toda a sequência. Logo, a sequência oscila entre os dois valores e não converge.
Resposta
A sequência
diverge (não possui limite).