Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, tais que a_{n} \rightarrow 2 quando n \rightarrow+\infty e b_{n}=(-1)^{n}. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
\left\{\frac{b_{n}}{1.000}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{b_n\} definida por
b_n = (-1)^n
e pede para analisar a convergência da sequência
\left\{\frac{b_n}{1000}\right\}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de sequência numérica: lembramos que \{x_n\} converge para L se, e somente se, todo ε-vizinhança de L contém x_n para n suficientemente grande, ou equivalentemente todas as suas sub-sucessões têm o mesmo limite.

Passo 2

Escrevemos explicitamente o termo geral:
\frac{b_n}{1000} = \frac{(-1)^n}{1000}.
Isso significa que, para cada n, o valor de \tfrac{b_n}{1000} é ou +\tfrac{1}{1000} (quando n é par) ou -\tfrac{1}{1000} (quando n é ímpar).

Passo 3

Para ver se há limite, observamos as duas sub-sucessões:
  • Se n=2k (par), então
\frac{b_{2k}}{1000} = \frac{(-1)^{2k}}{1000} = \frac{1}{1000}.
  • Se n=2k+1 (ímpar), então
\frac{b_{2k+1}}{1000} = \frac{(-1)^{2k+1}}{1000} = -\frac{1}{1000}.
Como essas duas sub-sucessões têm limites diferentes +\tfrac{1}{1000} e -\tfrac{1}{1000}, não existe um único L que seja limite de toda a sequência. Logo, a sequência oscila entre os dois valores e não converge.

Resposta

A sequência \left\{\tfrac{b_n}{1000}\right\} diverge (não possui limite).

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