Determine a resposta ao impulso que corresponde à função de transferência dada abaixo. (a) Supondo que o sistema é estável; (b) Supondo que o sistema é causal.
X(z)=\frac{1}{1-2 z^{-1}+\frac{3}{4} z^{-2}}
Passo 1
O enunciado pede a resposta ao impulso h[n] cuja função de transferência é
H(z)=\frac{1}{1-2z^{-1}+\tfrac34\,z^{-2}}.
O conteúdo é transformação de Z inversa usando frações parciais e diferentes regiões de convergência (ROC). Vamos precisar de:
fatorar o denominador e achar os polos;
decompor em frações parciais;
escolher a expansão (causal ou anticausal) conforme a ROC para cada caso.
Passo 2
Fatoramos o denominador via a equação característica em z^{-1}:
Caso (b): sistema causal. A ROC é \lvert z\rvert>1{,}5, ou seja, fora do polo de maior módulo. Ambas frações devem ser desenvolvidas em potências de z^{-1} para n\ge0: