Determine a resposta ao impulso que corresponde à função de transferência dada abaixo. (a) Supondo que o sistema é estável; (b) Supondo que o sistema é causal.
X(z)=\frac{1}{1-2 z^{-1}+\frac{3}{4} z^{-2}}

Passo 1

O enunciado pede a resposta ao impulso h[n] cuja função de transferência é
H(z)=\frac{1}{1-2z^{-1}+\tfrac34\,z^{-2}}.
O conteúdo é transformação de Z inversa usando frações parciais e diferentes regiões de convergência (ROC). Vamos precisar de:
  1. fatorar o denominador e achar os polos;
  2. decompor em frações parciais;
  3. escolher a expansão (causal ou anticausal) conforme a ROC para cada caso.

Passo 2

Fatoramos o denominador via a equação característica em z^{-1}:
1 -2z^{-1} +\tfrac34\,z^{-2} = \bigl(1-0{,}5\,z^{-1}\bigr)\,\bigl(1-1{,}5\,z^{-1}\bigr).
Os polos são z=0{,}5 e z=1{,}5.

Passo 3

Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(1-0{,}5z^{-1})(1-1{,}5z^{-1})} =\frac{A}{1-0{,}5z^{-1}}+\frac{B}{1-1{,}5z^{-1}}.
Temos
1 = A\,(1-1{,}5z^{-1}) + B\,(1-0{,}5z^{-1}) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} A+B=1,\\\\ 1{,}5\,A+0{,}5\,B=0. \end{cases}
Daí A=-0{,}5 e B=1{,}5. Logo
H(z) = \frac{-0{,}5}{1-0{,}5\,z^{-1}} +\frac{1{,}5}{1-1{,}5\,z^{-1}}.

Passo 4

Caso (b): sistema causal. A ROC é \lvert z\rvert>1{,}5, ou seja, fora do polo de maior módulo. Ambas frações devem ser desenvolvidas em potências de z^{-1} para n\ge0:
\frac{1}{1-a\,z^{-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}a^n\,z^{-n}.
Assim
h[n] =-0{,}5\,(0{,}5)^n\,u[n] +1{,}5\,(1{,}5)^n\,u[n].

Passo 5

Caso (a): sistema estável. A ROC deve incluir o círculo unitário, logo é
0{,}5 < \lvert z\rvert < 1{,}5.
Isto faz com que o termo 1/(1-0{,}5z^{-1}) seja causal \lvert z\rvert>0{,}5 e o termo 1/(1-1{,}5z^{-1}) seja anticausal \lvert z\rvert<1{,}5.
  • Para o primeiro termo (causal) vale de novo
-0{,}5\,(0{,}5)^n\,u[n].
  • Para o segundo (anticausal) usa-se a expansão em potências de z:
\frac{1}{1-1{,}5z^{-1}} =-\sum_{k=1}^{\infty}(1{,}5)^k\,z^{-k} \quad\Longrightarrow\quad x[n] = - (1{,}5)^n \quad\text{para }n\le -1.
Multiplicando por B=1{,}5
-1{,}5\,(1{,}5)^n\,u[-n-1].
Portanto o impulso é bidirecional:
h[n] =-0{,}5\,(0{,}5)^n\,u[n] \;-\;1{,}5\,(1{,}5)^n\,u[-n-1].

Resposta

(a) Estável (ROC 0{,}5<|z|<1{,}5):
h[n] =-0{,}5\,(0{,}5)^n\,u[n] \;-\; 1{,}5\,(1{,}5)^n\,u[-n-1].
(b) Causal (ROC |z|>1{,}5):
h[n] =-0{,}5\,(0{,}5)^n\,u[n] +1{,}5\,(1{,}5)^n\,u[n].

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