Um sistema LTI tem resposta ao impulso h[n]=5(-1 / 2)^{n} u[n]. Use a TFTD para achar a saída deste sistema quando a entrada é x[n]=(1 / 3)^{n} u[n].

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI com resposta ao impulso
h[n]=5\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n}u[n]
e entrada
x[n]=\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}u[n].
Queremos a saída y[n]. Vamos usar a propriedade de convolução no domínio da frequência (DTFT):
Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})\,X(e^{j\omega}),
fazer fração parcial e depois inverter a DTFT para voltar ao tempo.

Passo 2

Calcular a DTFT de h[n]. Como é soma geométrica para n\ge0:
H(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{\infty}5\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n}e^{-j\omega n} = \frac{5}{1 - \bigl(-\tfrac12\bigr)e^{-j\omega}} = \frac{5}{1 + \tfrac12\,e^{-j\omega}}.

Passo 3

Calcular a DTFT de x[n]. Também é soma geométrica para n\ge0:
X(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n}e^{-j\omega n} = \frac{1}{1 - \tfrac13\,e^{-j\omega}}.

Passo 4

Obter Y(e^{j\omega}) como produto:
Y(e^{j\omega}) =H(e^{j\omega})\,X(e^{j\omega}) =\frac{5}{\bigl(1 + \tfrac12e^{-j\omega}\bigr)\bigl(1 - \tfrac13e^{-j\omega}\bigr)}.

Passo 5

Fazer frações parciais em termos de z^{-1}=e^{-j\omega}:
\frac{5}{(1+\tfrac12z^{-1})(1-\tfrac13z^{-1})} =\frac{A}{1+\tfrac12z^{-1}}+\frac{B}{1-\tfrac13z^{-1}}.
Multiplicando por (1+\tfrac12z^{-1})(1-\tfrac13z^{-1})
5 = A\Bigl(1-\tfrac13z^{-1}\Bigr) + B\Bigl(1+\tfrac12z^{-1}\Bigr).
Para z^{-1}=-2 anula o termo de A e achamos A=3.
Para z^{-1}=3 anula o termo de B e achamos B=2.
Logo
Y(e^{j\omega}) =\frac{3}{1+\tfrac12e^{-j\omega}} +\frac{2}{1-\tfrac13e^{-j\omega}}.

Passo 6

Inverter a DTFT termo a termo, usando que
\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^{n}e^{-j\omega n} \stackrel{\mathcal{F}^{-1}}{\longleftrightarrow} \alpha^{n}u[n].
Assim
y[n] =3\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n}u[n] +2\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n}u[n].

Resposta

y[n]=3\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n}u[n]\;+\;2\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}u[n].

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