Considere a série sumn=1^infty nn^3+5 e analise se ela é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a convergência da série
sumn=1^infty nn^3+5
O conteúdo principal aqui é o Teste da Comparação (ou Teste da Comparação Limite) com uma série p-sequência. Vamos usar o fato de que, para grandes n, nn^3+5 se comporta como 1n^2.

Passo 2

Lembrando o Teste da Série p: a série
sumn=1^infty 1n^p
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, a série comparadora natural é sum 1/n^2, pois p=2>1 e sabemos que essa converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Comparação Limite entre
an=nn^3+5 e bn=1n^2
Calculamos
L = limntoinfty anbn = limntoinfty tfracnn^3+5tfrac1n^2 = limntoinfty n^3n^3+5

Passo 4

Para computar o limite, dividimos numerador e denominador por n^3:
L = limntoinfty 11 + tfrac5n^3 = 11+0 =1
Como 0< L<infty, conclui-se que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 5

Sabendo que sum bn=sum 1/n^2 converge (pois p=2>1), segue que a série original sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty nn^3+5 é convergente.

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