Considere a série
e analise se ela é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste da Comparação (ou Teste da Comparação Limite) com uma série
-sequência. Vamos usar o fato de que, para grandes
,
se comporta como
.
Passo 2
Lembrando o Teste da Série
: a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso, a série comparadora natural é
, pois
e sabemos que essa converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Comparação Limite entre
Calculamos
Passo 4
Para computar o limite, dividimos numerador e denominador por
:
Como
, conclui-se que
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 5
Sabendo que
converge (pois
), segue que a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.