Seja a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1n. Analise se ela é convergente usando a critério de Leibniz.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1,1n
usando o critério de Leibniz. Esse critério afirma que, se (bn) é uma sequência com
  1. bn>=0 para todo n,
  2. bn+1<= bn (monotonicamente decrescente),
  3. limntoinftybn=0,
    então a série alternada sum(-1)^nbn converge.

Passo 2

Identificamos em nossa série o termo de módulo
bn = 1n,
que é claramente não negativo para todo n.

Passo 3

Verificamos a monotonicidade de (bn): para todo n>=1,
bn+1 = 1n+1 e bn = 1n Longrightarrow 1n+1 <= 1n
Logo, (bn) é decrescente.

Passo 4

Calculamos o limite de bn:
limntoinfty bn = limntoinfty 1n = 0

Passo 5

Como bn>=0, (bn) é decrescente e bnto0, pelas condições do critério de Leibniz a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+11n converge. Note que a série harmônica sum1/n diverge, então a convergência aqui é condicional, não absoluta.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+11n converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

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