Seja a série alternada
. Analise se ela é convergente usando a critério de Leibniz.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
usando o critério de Leibniz. Esse critério afirma que, se
é uma sequência com
-
para todo , -
(monotonicamente decrescente), -
,
então a série alternadaconverge.
Passo 2
Identificamos em nossa série o termo de módulo
que é claramente não negativo para todo
.
Passo 3
Verificamos a monotonicidade de
: para todo
,
Logo,
é decrescente.
Passo 4
Calculamos o limite de
:
Passo 5
Como
,
é decrescente e
, pelas condições do critério de Leibniz a série alternada
converge. Note que a série harmônica
diverge, então a convergência aqui é condicional, não absoluta.
Resposta
A série
converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.