Dada a série sumn=1^infty sen^2 nn^2, mostre que ela é convergente utilizando o teorema do confronto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série sumn=1^infty sin^2 nn^2 converge usando o teorema do confronto. O conteúdo envolvido aqui é sobre séries numéricas e testes de convergência, especificamente o teorema do confronto. Para resolver, vamos precisar entender como comparamos nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema do confronto. Esse teorema nos diz que se temos duas séries sum an e sum bn onde 0 <= an <= bn para todo n a partir de um certo número, e se sum bn converge, então sum an também converge. Basicamente, se a nossa série original está sempre abaixo de uma série que sabemos que converge, então a nossa também vai convergir.

Passo 3

Vamos aplicar esse teorema à nossa série sumn=1^infty sin^2 nn^2. Primeiro, precisamos encontrar uma série sum bn que seja maior ou igual a sin^2 nn^2 para todo n.
Sabemos que o valor de sin^2 n está sempre entre 0 e 1, ou seja:
0 <= sin^2 n <= 1
Isso quer dizer que:
sin^2 nn^2 <= 1n^2
Então, podemos escolher bn = 1n^2.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a série sumn=1^infty 1n^2 converge. Essa é uma série conhecida como série p, onde a soma é do tipo sum 1n^p. Sabemos que uma série p converge se p > 1.
No nosso caso, p = 2, que é maior que 1, então a série sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 5

Como mostramos que sin^2 nn^2 <= 1n^2 para todo n e a série sum 1n^2 converge, pelo teorema do confronto, podemos concluir que a série original sumn=1^infty sin^2 nn^2 também converge.

Resposta

Portanto, usando o teorema do confronto, demonstramos que a série sumn=1^infty sin^2 nn^2 é convergente.

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