Dada a série
, mostre que ela é convergente utilizando o teorema do confronto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série
converge usando o teorema do confronto. O conteúdo envolvido aqui é sobre séries numéricas e testes de convergência, especificamente o teorema do confronto. Para resolver, vamos precisar entender como comparamos nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema do confronto. Esse teorema nos diz que se temos duas séries
e
onde
para todo
a partir de um certo número, e se
converge, então
também converge. Basicamente, se a nossa série original está sempre abaixo de uma série que sabemos que converge, então a nossa também vai convergir.
Passo 3
Vamos aplicar esse teorema à nossa série
. Primeiro, precisamos encontrar uma série
que seja maior ou igual a
para todo
.
Sabemos que o valor de
está sempre entre 0 e 1, ou seja:
Isso quer dizer que:
Então, podemos escolher
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a série
converge. Essa é uma série conhecida como série p, onde a soma é do tipo
. Sabemos que uma série p converge se
.
No nosso caso,
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 5
Como mostramos que
para todo
e a série
converge, pelo teorema do confronto, podemos concluir que a série original
também converge.
Resposta
Portanto, usando o teorema do confronto, demonstramos que a série
é convergente.