Considere a série sumn=1^infty 2n(n+2).
Calcule lim n infty sn e responda se a série converge ou diverge. Se converge, para qual valor?

Passo 1

O enunciado dá a série sumn=1^infty 2n(n+2) e pede o limite das somas parciais sn e determinar se a série converge. O conteúdo necessário é decomposição em frações parciais e reconhecimento de série telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição
2n(n+2) = An + Bn+2
Multiplicando por n(n+2) temos 2 = A(n+2) + Bn = (A+B)n + 2A, logo
A+B = 0, 2A = 2 implies A = 1,; B = -1
Portanto 2n(n+2) = 1n - 1n+2

Passo 3

A soma parcial é
sn = sumk=1^n l(1k - 1k+2r)
Ao escrever os primeiros e últimos termos, vemos que quase tudo cancela, restando
sn = l(1 + tfrac12r) - l(tfrac1n+1 + tfrac1n+2r) = 32 - 1n+1 - 1n+2

Passo 4

Para n to infty os termos 1n+1 e 1n+2 vão a zero, então
limntoinfty sn = 32
Logo a série converge.

Resposta

limntoinfty sn = 32, portanto a série converge e sua soma é 32.

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