Utilize o teste da comparação para concluir se a série a seguir é convergente ou divergente : sumn=1^infty 2n^3+1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2n^3+1
usando o teste da comparação. O conteúdo envolvido é séries numéricas e o teste de comparação com séries p-séries.

Passo 2

Observamos que o termo geral é
an=2n^3+1,
Como estamos comparando com uma p-série, lembramos que
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui o candidato natural é a série com p=3.

Passo 3

Para n>=1 vale
n^3+1>n^3 Longrightarrow 2n^3+1<2n^3
Logo, para todo n,
0<= an=2n^3+1<2n^3

Passo 4

Sabemos que
sumn=1^infty2n^3 =2sumn=1^infty1n^3
é convergente, pois é um múltiplo da p-série com p=3>1. Pelo teste da comparação direta, como 0<= an<2/n^3 e sum2/n^3 converge, segue que
sumn=1^infty2n^3+1
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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