Escreva a Série de Taylor em torno de x=1 para a função y=ln x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=ln x em torno de x=1. O conteúdo é séries de Taylor e vamos usar a fórmula geral
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
com a=1, calculando as derivadas de f em x=1.

Passo 2

Vamos obter uma expressão para f^(n)(x). Como f(x)=ln x,
f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2, f'''(x)=2x^3,;dots
Em geral, por indução,
f^(n)(x)=(-1)^n-1,(n-1)!x^npara n>=1

Passo 3

Avaliamo-las em x=1. Temos f(1)=ln1=0 e, para n>=1,
f^(n)(1)=(-1)^n-1(n-1)!
Na fórmula de Taylor em torno de a=1,
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(1)n!(x-1)^n,
o termo n=0 é zero e, para n>=1,
f^(n)(1)n! =(-1)^n-1(n-1)!n! =(-1)^n-1n

Passo 4

Substituindo esses coeficientes, obtemos
ln x =sumn=1^infty(-1)^n-1(x-1)^nn,
ou seja
ln x =(x-1)-(x-1)^22+(x-1)^33-cdots,
que converge para lvert x-1rvert<1.

Resposta

ln x=sumn=1^infty(-1)^n-1(x-1)^nn,lvert x-1rvert<1

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