A série geométrica a seguir é convergente. Responda por que e para qual valor ela converge :
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência e achar o valor de
Esse é um caso de série geométrica, pois o termo geral pode ser escrito como uma potência de uma razão constante.
Passo 2
Para reconhecer a forma padrão de uma geométrica, fazemos
. Então
Aqui o primeiro termo é
(quando
) e a razão é
.
Passo 3
Uma série geométrica
converge se, e somente se,
.
No nosso caso , logo a série é convergente.
No nosso caso
Passo 4
Para
lvert rrvert<1 , a soma é
Substituindo
a=5 e
r=-tfrac16 , temos
Resposta
A série converge porque a razão
r=-tfrac16 satisfaz
lvert rrvert<1 , e seu valor é