A série geométrica a seguir é convergente. Responda por que e para qual valor ela converge : sumk=1^infty(-1)^k-1 cdot 56^k-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e achar o valor de
sumk=1^infty(-1)^k-1,56^k-1
Esse é um caso de série geométrica, pois o termo geral pode ser escrito como uma potência de uma razão constante.

Passo 2

Para reconhecer a forma padrão de uma geométrica, fazemos n = k-1. Então
sumk=1^infty(-1)^k-1,56^k-1 =sumn=0^infty(-1)^n,56^n =5sumn=0^inftyl(-16r)^n
Aqui o primeiro termo é a=5 (quando n=0) e a razão é r=-tfrac16.

Passo 3

Uma série geométrica sumn=0^infty a,r^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1.
No nosso caso l|!-tfrac16r|=tfrac16<1, logo a série é convergente.

Passo 4

Para lvert rrvert<1, a soma é
S = a1-r
Substituindo a=5 e r=-tfrac16, temos
S = 51 - l(-tfrac16r) = 51+tfrac16 = 5tfrac76 = 5cdot67 = 307

Resposta

A série converge porque a razão r=-tfrac16 satisfaz lvert rrvert<1, e seu valor é
307

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