Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
b) sumn=1^infty(-1)^n+1 (20)^n(n))^3(3 n)!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me mandou. A gente precisa decidir se a série
sumn=1^infty (-1)^n+1 20^n n^3(3n)!
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como critérios de convergência e testes de absolutividade. Vamos passo a passo entender como resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série convergir absolutamente ou condicionalmente. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se a série
sumn=1^infty | (-1)^n+1 20^n n^3(3n)! | = sumn=1^infty 20^n n^3(3n)!
converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então a série converge condicionalmente.

Passo 3

Vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty 20^n n^3(3n)!
Aqui, temos uma sequência com termos positivos, então podemos aplicar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência dessa série.

Passo 4

O Teste da Razão diz que, se:
limn to infty | an+1an | = L
e:
  • Se L < 1 , a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 5

Vamos definir:
an = 20^n n^3(3n)!
Então:
an+1 = 20^n+1 (n+1)^3[3(n+1)]! = 20 cdot 20^n (n+1)^3(3n + 3)!
Agora, vamos montar a razão an+1an :
an+1an = 20 cdot 20^n (n+1)^3(3n + 3)! cdot (3n)!20^n n^3 = 20 (n+1)^3(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) n^3

Passo 6

Simplificando a expressão:
an+1an = 20 cdot (n+1)^3n^3 (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)
Podemos reescrever o denominador:
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) = 27n^3 + termos de menor ordem
Para grandes valores de n , os termos de menor ordem são desprezados, então aproximadamente:
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) approx 27n^3

Passo 7

Substituindo de volta na razão:
an+1an approx 20 cdot (n+1)^3n^3 cdot 27n^3 = 20 cdot (n+1)^327n^6 = 2027 cdot ( n+1n )^3
E sabemos que:
limn to infty ( n+1n )^3 = 1
Então:
limn to infty an+1an = 2027 cdot 1 = 2027

Passo 8

Como 2027 < 1 , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série
sumn=1^infty (-1)^n+1 20^n n^3(3n)!
converge absolutamente pelo Teste da Razão.

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