Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a série
converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, como testes de convergência (por exemplo, teste da comparação e teste do valor absoluto). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando. O termo geral é:
Podemos simplificar o logaritmo:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
para valores grandes de
. Sabemos que, para
pequeno,
. Então, para
grande:
Substituindo de volta no
:
Passo 4
Vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos o valor absoluto dos termos:
Agora, comparamos isso com a série
, que sabemos que converge (é uma série p, com
).
Passo 5
Como a série dos valores absolutos
converge, pela Teste da Comparação, isso significa que a série original
converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional, mas o mais forte é a convergência absoluta.
Resposta
A série
converge absolutamente. Utilizamos o Teste da Comparação para determinar isso.