Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
a) sumn=1^infty(-1)^n+1 n ln (n^3+1n^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n ln (n^3+1n^3) converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, como testes de convergência (por exemplo, teste da comparação e teste do valor absoluto). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando. O termo geral é:
an = (-1)^n+1 n ln (n^3+1n^3)
Podemos simplificar o logaritmo:
ln (n^3+1n^3) = ln (1 + 1n^3)

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de ln (1 + 1n^3) para valores grandes de n. Sabemos que, para x pequeno, ln(1 + x) approx x. Então, para n grande:
ln (1 + 1n^3) approx 1n^3
Substituindo de volta no an:
an approx (-1)^n+1 n cdot 1n^3 = (-1)^n+1 cdot 1n^2

Passo 4

Vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos o valor absoluto dos termos:
|an| = n ln (n^3+1n^3) approx 1n^2
Agora, comparamos isso com a série sum 1n^2, que sabemos que converge (é uma série p, com p = 2 > 1).

Passo 5

Como a série dos valores absolutos sum |an| converge, pela Teste da Comparação, isso significa que a série original sum an converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional, mas o mais forte é a convergência absoluta.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 n ln (n^3+1n^3) converge absolutamente. Utilizamos o Teste da Comparação para determinar isso.

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