Considere a série sumn=1^infty 1n^4
Encontre uma aproximação melhorada para a soma da série utilizando a desigualdade de limitantes superior e inferior com n=10.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos aproximar a soma
sumn=1^infty1n^4
utilizando o método de limitantes superior e inferior (teste da integral) a partir de n=10.

Passo 2

Como a função f(x)=x^-4 é positiva e decrescente para x>=1, o resto da série a partir de N,
RN=sumn=N+1^infty1n^4,
satisfaz
integralN+1^inftyx^-4,dx ;<=; RN;<=;integralN^inftyx^-4,dx

Passo 3

Calculamos as integrais do tail:
integrala^inftyx^-4,dx =[-13x^3]a^infty =13a^3
Logo, para N=10,
integral11^inftyx^-4,dx=13cdot11^3 approx0,0002504, integral10^inftyx^-4,dx=13cdot10^3 =13000approx0,0003333

Passo 4

Agora computamos a soma parcial até n=10:
S10=sumn=1^101n^4 approx1 +0,06250 +0,0123457 +0,0039063 +0,0016 +0,0007716 +0,0004165 +0,0002441 +0,0001524 +0,0001 approx1,0820366

Passo 5

Aplicando os limitantes para a soma total S=S10+R10, obtemos
1,0820366+0,0002504 ;<=; S ;<=; 1,0820366+0,0003333,
ou seja
1,0822870 ;<=; sumn=1^infty1n^4 ;<=;1,0823699

Resposta

Uma aproximação melhorada é
1,0822870 ;<=;sumn=1^infty1n^4 ;<=;1,0823699,
portanto sumn=1^infty1/n^4approx1,08233pm0,00004.

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