Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) nos pontos dados:
f(x, y)=raiz(x-1)^2+(y-1)^2 ; P1=(1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=raiz(x-1)^2+(y-1)^2
no ponto P1=(1,2,1).
Conteúdo: plano tangente a superfícies dadas por z=f(x,y). Vamos usar derivadas parciais e a fórmula
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f por regra da cadeia. Seja
g(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2, f(x,y)=raizg(x,y)=g(x,y)^1/2
Então
fx = tfrac12,g(x,y)^-1/2cdot2(x-1) = x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2,
fy = y-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2

Passo 3

Avaliar fx e fy em (x0,y0)=(1,2). Como
raiz(1-1)^2+(2-1)^2 = 1,
temos
fx(1,2) = 1-11 = 0, fy(1,2) = 2-11 = 1

Passo 4

Aplicar a fórmula do plano tangente em P1=(x0,y0,z0)=(1,2,1):
z - z0 = fx(1,2),(x-1) + fy(1,2),(y-2)
z - 1 = 0cdot(x-1) + 1cdot(y-2)
z - 1 = y - 2
z = y - 1

Resposta

A equação do plano tangente é
z = y - 1

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