Suponha que
seja diferenciável e dada implicitamente pela equação
, onde
é suposta diferenciável. Expresse
em termos de
e das derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado define implicitamente
pela equação
onde
é diferenciável. Para encontrar
vamos usar derivação implícita e, no lado direito, a regra da cadeia para funções de duas variáveis (isto é, as derivadas parciais de
).
Passo 2
Diferenciando ambos os lados de
em relação a
, obtemos
O lado esquerdo é
No lado direito, seja
então, pela regra da cadeia,
Como
, temos
Logo
onde escrevemos
.
Passo 3
Agora agrupamos os termos em
:
Isolando
, obtemos