Suponha que v=v(u) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação u=F(u^2+v, v^2), onde F(x, y) é suposta diferenciável. Expresse d vd u em termos de u, v e das derivadas parciais de F.

Passo 1

O enunciado define implicitamente v=v(u) pela equação
u = Fl(u^2 + v,;v^2r),
onde F(x,y) é diferenciável. Para encontrar dfracdvdu vamos usar derivação implícita e, no lado direito, a regra da cadeia para funções de duas variáveis (isto é, as derivadas parciais de F).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
u = Fl(u^2 + v,;v^2r)
em relação a u, obtemos
dduu ;=;dduFl(u^2 + v,;v^2r)
O lado esquerdo é
dduu = 1
No lado direito, seja
Fx = partial Fpartial xl(u^2+v,;v^2r), Fy = partial Fpartial yl(u^2+v,;v^2r),
então, pela regra da cadeia,
dduF = Fxcdotddul(u^2+vr) + Fycdotddul(v^2r)
Como v=v(u), temos
ddu(u^2+v) = 2u + dvdu, ddu(v^2) = 2v,dvdu
Logo
1 = Fx,(2u + v') + Fy,(2v,v'),
onde escrevemos v'=dfracdvdu.

Passo 3

Agora agrupamos os termos em v':
1 = 2u,Fx + v'l(Fx + 2v,Fyr)
Isolando v', obtemos
v' = 1 - 2u,FxFx + 2v,Fy

Resposta

dvdu = 1 - 2u,partial Fpartial x(u^2+v,;v^2) partial Fpartial x(u^2+v,;v^2) ;+;2v,partial Fpartial y(u^2+v,;v^2)

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