Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
f(x, y)= 7 x^5x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= dfrac7,x^5x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: diferenciabilidade de função de duas variáveis em ponto. Vamos (i) calcular as derivadas parciais em (0,0) e (ii) checar o termo de erro da aproximação linear ser o(raizx^2+y^2).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto07h^5h^2+0-0h =limhto07h^5h^3 =limhto07h^2 =0
De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h =0

Passo 3

Para verificar diferenciabilidade, consideramos o resto
R(x,y)=f(x,y)-l(underbrace0fx(0,0),x+underbrace0fy(0,0),yr) =f(x,y)
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
l|R(x,y)r| =|7x^5x^2+y^2| =7,r^5|cos^5theta|r^2 =7,r^3|cos^5theta|
Então
l|R(x,y)r|raizx^2+y^2 =7,r^3|cos^5theta|r =7,r^2|cos^5theta| ;xrightarrow[rto0];0
Isto mostra R(x,y)=o(raizx^2+y^2), condição exata de diferenciabilidade.

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0).

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