Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular as derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano (a reta tangente, no caso de funções de duas variáveis) nesse ponto. Isso significa que, próximo ao ponto, a função se comporta de forma linear.
Passo 3
Antes de mais nada, vamos verificar se a função é contínua em (0,0), pois diferenciabilidade implica continuidade. Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Passo 4
Vamos converter para coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Lembre-se que x = r cos(theta) e y = r sin(theta) , onde r = raizx^2 + y^2 .
Note que o limite depende de theta , ou seja, o resultado varia conforme o caminho pelo qual nos aproximamos de (0,0). Por exemplo:
Se theta = 0 , temos f = 1 .
Se theta = pi4 , temos f = 0 .
Se theta = pi2 , temos f = -1 .
Como o limite depende do caminho, o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em (0,0).
Passo 6
Já que a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Diferenciabilidade exige que a função seja contínua, então já podemos concluir por aqui.