Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
f(x, y)= x^2-y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular as derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano (a reta tangente, no caso de funções de duas variáveis) nesse ponto. Isso significa que, próximo ao ponto, a função se comporta de forma linear.

Passo 3

Antes de mais nada, vamos verificar se a função é contínua em (0,0), pois diferenciabilidade implica continuidade. Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 4

Vamos converter para coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Lembre-se que x = r cos(theta) e y = r sin(theta) , onde r = raizx^2 + y^2 .
Substituindo na função:
f(r, theta) = (r cos theta)^2 - (r sin theta)^2r^2 = r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta)r^2 = cos^2 theta - sin^2 theta

Passo 5

Note que o limite depende de theta , ou seja, o resultado varia conforme o caminho pelo qual nos aproximamos de (0,0). Por exemplo:
  • Se theta = 0 , temos f = 1 .
  • Se theta = pi4 , temos f = 0 .
  • Se theta = pi2 , temos f = -1 .
Como o limite depende do caminho, o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em (0,0).

Passo 6

Já que a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Diferenciabilidade exige que a função seja contínua, então já podemos concluir por aqui.

Resposta

A função f(x, y) não é diferenciável em (0,0).

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