Considere a série sumn=1^infty 2n(n+2).
Escreva a fórmula geral da sequência de somas parciais : sn.

Passo 1

O enunciado pede a sequência de somas parciais
sn = sumk=1^n2k(k+2)
dois pontos. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar decomposição em frações parciais para ver que é uma série telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição
2k(k+2) = Ak + Bk+2
Multiplicando em cruz:
2 = A(k+2) + Bk = (A+B),k + 2A
Comparando coeficientes obtemos
A+B = 0, 2A = 2Longrightarrow A=1,;B=-1
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2k(k+2) = 1k - 1k+2

Passo 3

Substituindo em sn:
sn = sumk=1^nl(1k - 1k+2r)
Escrevendo os primeiros termos:
(1 - tfrac13) + ( tfrac12 - tfrac14 ) + ( tfrac13 - tfrac15 ) + cdots + l(tfrac1n - tfrac1n+2r)

Passo 4

Observamos o corte telescópico: os +tfrac13,tfrac14,dots,tfrac1n cancelam com os -tfrac13,-tfrac14,dots,-tfrac1n. Ficam só
sn = 1 + tfrac12 ;-; 1,n+1, ;-;1,n+2, = 32 ;-;l(1n+1+1n+2r)

Passo 5

Querendo uma única fração, somamos
1,n+1,+1,n+2, =2n+3(n+1)(n+2),
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sn = 32 - 2n+3(n+1)(n+2) = n(3n+5)2(n+1)(n+2)

Resposta

sn = 32 - l(1n+1+1n+2r) (ou) sn = n(3n+5)2(n+1)(n+2)

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