Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral0^2 1raiz|x-1| d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral0^21raizlvert x-1rvert,dx
é convergente ou divergente. Note que há uma singularidade em x=1, pois o integrando fica infinito nesse ponto. Para analisar, vamos dividir a integral em duas partes ao redor de x=1 e usar o critério de p-integral.

Passo 2

Separamos
integral0^21raizlvert x-1rvert,dx =integral0^11raiz1-x,dx +integral1^21raizx-1,dx
Cada uma dessas integrais é do tipo integral0^au^-1/2du, que converge pois o expoente p=tfrac12<1.

Passo 3

Para a parte à esquerda, fazemos u=1-x, du=-dx. Então
integral0^11raiz1-x,dx =integral1^0-1raizu,du =integral0^1u^-1/2,du =l[2u^1/2r]0^1 =2
Logo essa parte converge.

Passo 4

Para a parte à direita, fazemos t=x-1, dt=dx. Assim
integral1^21raizx-1,dx =integral0^1t^-1/2,dt =l[2t^1/2r]0^1 =2
Também é finita.

Resposta

A integral é convergente.

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