Considere a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
a) Qual é o intervalo de convergência desta série?
b) Use a diferenciação termo a termo para encontrar uma representação em série de potências para a função f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
c) Determine o intervalo de convergência da série encontrada no item (b), analisando seus extremos.
Passo 1
O enunciado nos dá a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}
e pede:
a) o intervalo de convergência dessa série;
b) usando diferenciação termo a termo, obter uma série de potências para
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}};
c) determinar o intervalo de convergência da série do item b), incluindo análise nos extremos.
Passo 2
Para o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}, aplicamos o teste da razão: seja a_{n}=x^{n}. Então
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, se |x|<1. Nos extremos |x|=1 a série diverge (para x=1 suma-se 1+1+1+\cdots e para x=-1 oscila sem limite).
Passo 3
Diferenciando termo a termo em \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, obtemos