Considere a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
a) Qual é o intervalo de convergência desta série?
b) Use a diferenciação termo a termo para encontrar uma representação em série de potências para a função f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
c) Determine o intervalo de convergência da série encontrada no item (b), analisando seus extremos.

Passo 1

O enunciado nos dá a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}
e pede:
a) o intervalo de convergência dessa série;
b) usando diferenciação termo a termo, obter uma série de potências para
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}};
c) determinar o intervalo de convergência da série do item b), incluindo análise nos extremos.

Passo 2

Para o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}, aplicamos o teste da razão: seja a_{n}=x^{n}. Então
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}|x| =|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, se |x|<1. Nos extremos |x|=1 a série diverge (para x=1 suma-se 1+1+1+\cdots e para x=-1 oscila sem limite).

Passo 3

Diferenciando termo a termo em \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, obtemos
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1},
e
\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} =\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Logo
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Reindexando n-1\mapsto m resulta na forma mais comum:
\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,x^{m}.

Passo 4

Aplicando novamente o teste da razão a b_{m}=(m+1)x^{m}, temos
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{b_{m+1}}{b_{m}}\right| =\lim_{m\to\infty}\frac{m+2}{m+1}\,|x| =|x|.
Converge se |x|<1. Nos extremos:
  • x=1: os termos (m+1) não tendem a zero, diverge.
  • x=-1: os termos (m+1)(-1)^{m} não tendem a zero, diverge.

Resposta

a) O intervalo de convergência é |x|<1, ou seja, (-1,1).
b)
\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{n}.
c) O intervalo de convergência dessa série também é |x|<1, sem inclusão dos extremos.

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