Considere a série para o número e=sumn=0^infty 1n!.
Quantos termos da série são necessários para aproximar e com 10 dígitos de precisão?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a série de Taylor para o número
e ;=;sumn=0^infty1n!,
O que a gente quer é descobrir quantos termos dessa soma infinita (ou seja, até qual N a gente vai) para que a aproximação esteja certa em 10 casas decimais.
Conteúdo: séries numéricas e estimativa de resto (erro) usando noções de fatorial e comparação.

Passo 2

Primeiro, definimos a soma parcial até N como
SN = sumn=0^N1n!,
O erro (ou resto) ao truncar é
RN = l|,e - SNr| = sumn=N+1^infty1n!,
Queremos garantir RN < 10^-10, pra ter 10 dígitos de precisão.

Passo 3

Para estimar RN, note que, para todo k>= N+2,
k! = (N+1)!,(N+2),(N+3)cdots k Longrightarrow 1k! <= 1(N+1)!,l(1N+2r)^,k-(N+1)!
Então
RN &= 1(N+1)! ;+;1(N+2)!+cdots &< 1(N+1)! + 1(N+1)!sumj=1^inftyl(1N+2r)^j = 1(N+1)!,11-tfrac1N+2 = N+2(N+1)!,(N+1),
Como tfracN+2N+1 = 1+tfrac1N+1<=2 para todo N>=1, temos
RN < 2(N+1)!,

Passo 4

Então basta achar N tal que
2(N+1)! < 10^-10,
Testando fatoriais:
- 14! approx 8,7times10^10, logo tfrac214!approx2,3times10^-11<10^-10.
- Para N+1=13, 13!approx6,2times10^9 e tfrac213!approx3,2times10^-10 (ainda maior que 10^-10).
Isso mostra que precisamos de N+1=14, ou seja N=13.

Resposta

É preciso somar os termos de n=0 até n=13, totalizando 14 termos, para garantir 10 dígitos de precisão em e.

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