Use o algoritmo de Eudoxo para estimar a
.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente usar o “algoritmo de Eudoxo” pra estimar
. Isso faz parte de Métodos Numéricos (ou Análise Numérica) e é basicamente o método de exaustão grego, que envolve manter duas frações – uma abaixo e outra acima de
– e ir refinando essas bordas pelo “medianto” (a famosa soma de numeradores sobre soma de denominadores). A gente vai precisar:
- Entender que
está entre 1 e 2. - Saber calcular o medianto de duas frações
e : . - Comparar ao quadrado com 2 pra decidir se fica abaixo (vira novo limite inferior) ou acima (vira novo limite superior).
Passo 2
Começamos com o intervalo
Agora vamos pegar o medianto de
e
:
Como
, isso está acima de
, então substituímos o limite superior por
.
Fica:
Fica:
Passo 3
Agora medianto de
e
:
Como
, isso ficou abaixo de
. Virou o novo limite inferior.
Passo 4
Medianto de
e
:
Fica de novo limite inferior:
Passo 5
Medianto de
e
:
Virou novo limite superior:
Passo 6
Medianto de
e
:
Substitui limite superior:
Passo 7
Medianto de
e
:
Agora limite inferior:
Passo 8
Medianto de
e
:
Fica de novo limite inferior e temos:
Nesse ponto o intervalo já é bem apertado:
diferença de só ~0{,}003.
Resposta
Usando Eudoxo chegamos à aproximação racional
e sabemos que
está abaixo de
.
Se quiser um valor decimal arredondado, dá
Se quiser um valor decimal arredondado, dá