Use o algoritmo de Eudoxo para estimar a raiz2.

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente usar o “algoritmo de Eudoxo” pra estimar . Isso faz parte de Métodos Numéricos (ou Análise Numérica) e é basicamente o método de exaustão grego, que envolve manter duas frações – uma abaixo e outra acima de – e ir refinando essas bordas pelo “medianto” (a famosa soma de numeradores sobre soma de denominadores). A gente vai precisar:
  • Entender que está entre 1 e 2.
  • Saber calcular o medianto de duas frações e : .
  • Comparar ao quadrado com 2 pra decidir se fica abaixo (vira novo limite inferior) ou acima (vira novo limite superior).

Passo 2

Começamos com o intervalo
11=1 < raiz2 < 2 = 21
Agora vamos pegar o medianto de 1+21+1 ;=;32=1,5 e 1 = 11 < raiz2 < 32 = 1,5 :
Como , isso está acima de , então substituímos o limite superior por .
Fica:

Passo 3

Agora medianto de 1+31+2 = 43 approx 1,333 e 43 < raiz2 < 32 :
Como , isso ficou abaixo de . Virou o novo limite inferior.

Passo 4

Medianto de 4+33+2 = 75 = 1,4, l(tfrac75r)^2=1,96<2 e 75 < raiz2 < 32 :
Fica de novo limite inferior:

Passo 5

Medianto de 7+35+2 = 107approx1,4286, l(tfrac107r)^2approx2,0408>2 e 75 < raiz2 < 107 :
Virou novo limite superior:

Passo 6

Medianto de 7+105+7 = 1712approx1,4167, l(tfrac1712r)^2approx2,0069>2 e 75 < raiz2 < 1712 :
Substitui limite superior:

Passo 7

Medianto de 7+175+12 = 2417approx1,4118, l(tfrac2417r)^2approx1,9938<2 e 2417 < raiz2 < 1712 :
Agora limite inferior:

Passo 8

Medianto de 24+1717+12 = 4129approx1,4138, l(tfrac4129r)^2approx1,9990<2 e 4129 < raiz2 < 1712 :
1,4138 < raiz2 < 1,4167,
Fica de novo limite inferior e temos:
Nesse ponto o intervalo já é bem apertado:
diferença de só ~0{,}003.

Resposta

Usando Eudoxo chegamos à aproximação racional
4129approx1,4138
e sabemos que boxedraiz2approx1,4142 está abaixo de .
Se quiser um valor decimal arredondado, dá

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