Considere a série de potências sumn=1^infty (-3)^nraizn(7 x-3)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma série de potências do tipo sumn=1^infty (-3)^nraizn(7 x-3)^n. O conteúdo envolvido aqui é séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o teste da razão para determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a visualização:
sumn=1^infty (-3)^nraizn(7 x-3)^n = sumn=1^infty [(-3)(7x - 3)]^nraizn
Aqui, identificamos que cada termo geral da série é [(-3)(7x - 3)]^nraizn.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências de n. O teste da razão diz que uma série sum an converge se:
limn to infty | an+1an | < 1

Passo 4

Vamos calcular a razão entre o termo geral an+1 e an:
| an+1an | = | [(-3)(7x - 3)]^n+1raizn+1[(-3)(7x - 3)]^nraizn | = | [(-3)(7x - 3)] | cdot raiznn+1

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
| [(-3)(7x - 3)] | cdot raiznn+1 = 3|7x - 3| cdot raiznn+1
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 3|7x - 3| cdot raiznn+1 = 3|7x - 3| cdot limn to infty raiznn+1 = 3|7x - 3| cdot 1 = 3|7x - 3|

Passo 6

Aplicando o teste da razão, para convergência da série, precisamos que:
3|7x - 3| < 1
Vamos resolver essa inequação:
|7x - 3| < 13

Passo 7

A inequação |7x - 3| < 13 significa que 7x - 3 está entre -13 e 13. Vamos escrever isso:
-13 < 7x - 3 < 13
Agora, vamos resolver para x adicionando 3 em todas as partes:
-13 + 3 < 7x < 13 + 3
Simplificando:
83 < 7x < 103
Agora, dividimos tudo por 7:
821 < x < 1021

Resposta

O intervalo de convergência da série é ( 821, 1021 ).

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