Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas
constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
, onde
é uma constante. Isso significa que queremos descobrir quais curvas cruzam as curvas dessa família formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas e a ideia de inclinação de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da família de curvas de uma forma que facilite encontrar a derivada. A equação é
. Queremos diferenciar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Do lado direito, a derivada de
em relação a
é
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação para achar
, que representa a inclinação da tangente à curva.
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas recíprocas umas das outras. Ou seja, se a inclinação da curva original é
, a inclinação da trajetória ortogonal será
.
Então, a inclinação das ortogonais será:
Passo 6
Agora temos uma nova equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos rearranjar essa equação para separarmos as variáveis
e
:
Passo 7
Integramos ambos os lados para encontrar a solução geral:
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Então, temos:
Passo 8
Para simplificar, podemos eliminar o valor absoluto e resolver para
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 9
Finalmente, as trajetórias ortogonais são dadas por:
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por
, onde
é uma constante.