Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas
y^2=2 lambda x, lambda constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y^2 = 2 lambda x , onde lambda é uma constante. Isso significa que queremos descobrir quais curvas cruzam as curvas dessa família formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas e a ideia de inclinação de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da família de curvas de uma forma que facilite encontrar a derivada. A equação é y^2 = 2 lambda x . Queremos diferenciar ambos os lados em relação a x .

Passo 3

Vamos diferenciar y^2 usando a regra da cadeia. A derivada de y^2 em relação a x é 2y dydx . Do lado direito, a derivada de 2 lambda x em relação a x é 2 lambda .
Então, temos:
2y dydx = 2 lambda

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação para achar dydx , que representa a inclinação da tangente à curva.
Dividindo ambos os lados por 2y :
dydx = lambday

Passo 5

As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas recíprocas umas das outras. Ou seja, se a inclinação da curva original é m , a inclinação da trajetória ortogonal será -1m .
Então, a inclinação das ortogonais será:
dydx = -ylambda

Passo 6

Agora temos uma nova equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
dydx = -ylambda
Vamos rearranjar essa equação para separarmos as variáveis y e x :
dyy = -dxlambda

Passo 7

Integramos ambos os lados para encontrar a solução geral:
Integrando o lado esquerdo:
integral 1y dy = ln|y| + C
Integrando o lado direito:
integral -1lambda dx = -xlambda + C
Então, temos:
ln|y| = -xlambda + C

Passo 8

Para simplificar, podemos eliminar o valor absoluto e resolver para y :
y = e^-xlambda + C
Podemos reescrever e^C como uma nova constante K :
y = K e^-xlambda

Passo 9

Finalmente, as trajetórias ortogonais são dadas por:
y = K e^-xlambda
onde K é uma constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas y^2 = 2 lambda x são dadas por y = K e^-xlambda , onde K é uma constante.

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