Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas
lambda^2 x^2+y^2=lambda^2, lambda constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por lambda^2 x^2 + y^2 = lambda^2, onde lambda é uma constante. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente o tema de trajetórias ortogonais. Vamos precisar entender como derivar a equação da família de curvas e depois encontrar a família das curvas que são ortogonais a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que nos foi dada: lambda^2 x^2 + y^2 = lambda^2. Podemos reescrever essa equação como x^2 + y^2lambda^2 = 1, que é a equação de uma elipse. Cada valor diferente de lambda representa uma elipse diferente.

Passo 3

Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos descobrir a inclinação da tangente em qualquer ponto das elipses dadas. Para isso, vamos derivar a equação da elipse com relação a x usando derivação implícita.
Derivando ambos os lados da equação x^2 + y^2lambda^2 = 1 em relação a x, temos:
2x + 2ylambda^2 cdot dydx = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação para dydx, que representa a inclinação da tangente à elipse:
2x + 2ylambda^2 cdot dydx = 0
Isolando dydx:
dydx = -lambda^2xy

Passo 5

As trajetórias ortogonais terão inclinações que são os negativos recíprocos das inclinações das elipses. Ou seja, se a inclinação da elipse é -lambda^2xy, a inclinação das trajetórias ortogonais será:
dydx = ylambda^2x

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
dydx = ylambda^2x
Vamos separar as variáveis para resolver essa equação:
dyy = dxlambda^2x

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral 1y dy = integral 1lambda^2x dx
Isso resulta em:
ln|y| = 1lambda^2 ln|x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
y = e^C cdot x^1lambda^2
Podemos escrever e^C como uma nova constante k, então:
y = k cdot x^1lambda^2

Passo 9

Essa é a equação geral das trajetórias ortogonais à família de curvas original. Cada valor de k representa uma curva diferente que é ortogonal a todas as elipses da família dada.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por y = k cdot x^1lambda^2, onde k é uma constante.

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