Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas
constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
, onde
é uma constante. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente o tema de trajetórias ortogonais. Vamos precisar entender como derivar a equação da família de curvas e depois encontrar a família das curvas que são ortogonais a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas que nos foi dada:
. Podemos reescrever essa equação como
, que é a equação de uma elipse. Cada valor diferente de
representa uma elipse diferente.
Passo 3
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos descobrir a inclinação da tangente em qualquer ponto das elipses dadas. Para isso, vamos derivar a equação da elipse com relação a
usando derivação implícita.
Derivando ambos os lados da equação
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
, que representa a inclinação da tangente à elipse:
Isolando
:
Passo 5
As trajetórias ortogonais terão inclinações que são os negativos recíprocos das inclinações das elipses. Ou seja, se a inclinação da elipse é
, a inclinação das trajetórias ortogonais será:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos separar as variáveis para resolver essa equação:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Podemos escrever
como uma nova constante
, então:
Passo 9
Essa é a equação geral das trajetórias ortogonais à família de curvas original. Cada valor de
representa uma curva diferente que é ortogonal a todas as elipses da família dada.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por
, onde
é uma constante.