Considere a série de potências
sumn=0^infty (-1)^n(5 x-5)^nn 5^n
Encontre uma função f(x) que coincide com a série no interior do intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=0^infty (-1)^n(5x-5)^nn,5^n,
e pede uma função f(x) que coincide com essa soma no interior do intervalo de convergência. Aqui o truque é notar que essa série pode ser reduzida a uma forma conhecida envolvendo
sumn=1^infty z^nn=-ln(1-z) para |z|<1.

Passo 2

Primeiro ajustamos o índice: o termo para n=0 dá divisão por zero, então começamos em n=1. Depois escrevemos
(5x-5)^n = 5^n(x-1)^n
e o termo geral vira
(-1)^n(5x-5)^nn,5^n =(-1)^n,5^n(x-1)^nn,5^n =(-1)^n(x-1)^nn =[-(x-1)]^nn
Logo a série é
sumn=1^infty [-(x-1)]^nn

Passo 3

Reconhecemos sumn=1^infty z^nn=-ln(1-z). Aqui z=-(x-1) e |z|=|x-1|<1 garante a convergência. Substituindo,
sumn=1^infty [-(x-1)]^nn =-lnl(1-[-(x-1)]r) =-lnl(1+x-1r) =-ln(x)

Resposta

f(x)=-ln(x),
válido para |x-1|<1 (isto é, 0<x<2).

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