Considere a série de potências
a) Determine o raio de convergência desta série de potências. e
é a função definida pela série, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede duas coisas:
- Determinar o raio de convergência da série de potências.
- Se
é a função definida por essa série, calcular .
Informações relevantes do enunciado:
- A série está centrada em
(os poderes aparecem em ). - O índice
varia de até . - O termo de ordem em
é .
Passo 2
Observação sobre a estrutura da série (ajuda técnica): todos os expoentes de
são da forma
(ou seja, somente potências ímpares aparecendo). Para estudar a convergência é conveniente eliminar esse “buraco” usando a substituição
Note que
Podemos reescrever a série como
onde
Assim, a convergência em
se reduz ao estudo da série de potências em
:
.
Passo 3
Regra usada para o raio: para uma série de potências
o raio de convergência em
é
Vamos calcular
. Temos
Agora calcule o limite quando
:
-
porque a potência . -
.
Portanto
Então
Passo 4
Voltar para a variável
: como
, a condição
vira
Logo o raio de convergência em
é
Passo 5
Relação entre coeficientes e derivadas no centro: se uma função tem série de Taylor centrada em
então o coeficiente
está ligado à derivada por
Explicação curta: ao derivar
vezes o termo
surge
e os termos com potência maior ainda contêm fator
e desaparecem ao avaliar em
. Essa é a fórmula padrão de recuperação dos coeficientes de Taylor.
Passo 6
Identificar os coeficientes da nossa série: em nossa representação original os únicos termos que aparecem são das potências
. Assim, comparando com a forma
,
e para expoentes
que não são da forma
(ou seja, para
pares) temos
.
Em particular:
- Para
existe tal que . Resolvendo obtemos . - Para
não existe inteiro com (pois é par), logo .
Passo 7
Calcular
. Usando
e o item anterior com
,
Portanto
Simplificando o fator numérico:
, e dividindo numerador e denominador por
obtemos a forma
Passo 8
Calcular
. Como explicado no Passo 6, não há termo em
na série (coeficiente nulo), logo
Passo 9
Somar os valores pedidos: