Considere a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}(x-3)^{2 n-1}}{3^{2 n+1}}
a) Determine o raio de convergência desta série de potências. e f(x) é a função definida pela série, calcule f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3).

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}(x-3)^{2 n-1}}{3^{2 n+1}}
e pede duas coisas:
  1. Determinar o raio de convergência da série de potências.
  2. Se f(x) é a função definida por essa série, calcular f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3).
Informações relevantes do enunciado:
  • A série está centrada em x=3 (os poderes aparecem em (x-3)^{\cdot}).
  • O índice n varia de 1 até \infty.
  • O termo de ordem em n é \dfrac{\sqrt[3]{n^{2}}}{3^{2n+1}}(x-3)^{2n-1}.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da série (ajuda técnica): todos os expoentes de (x-3) são da forma 2n-1 (ou seja, somente potências ímpares aparecendo). Para estudar a convergência é conveniente eliminar esse “buraco” usando a substituição
z=(x-3)^{2}.
Note que
(x-3)^{2n-1}=(x-3)^{-1}\big((x-3)^{2}\big)^{n}=(x-3)^{-1} z^{n}.
Podemos reescrever a série como
f(x)=(x-3)^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} z^{n},
onde
b_{n}=\frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{3^{2n+1}}.
Assim, a convergência em x se reduz ao estudo da série de potências em z: \sum b_n z^n.

Passo 3

Regra usada para o raio: para uma série de potências \sum_{n=1}^\infty b_n z^n o raio de convergência em z é
R_z=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}}.
Vamos calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}. Temos
\sqrt[n]{b_n}=\sqrt[n]{\frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{3^{2n+1}}} =\frac{\big(n^{2}\big)^{1/(3n)}}{3^{2+1/n}}.
Agora calcule o limite quando n\to\infty:
  • \big(n^{2}\big)^{1/(3n)}=n^{2/(3n)}\to 1 porque a potência 2/(3n)\to 0.
  • 3^{1/n}\to 1.
    Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}.
Então
R_z=\frac{1}{1/9}=9.

Passo 4

Voltar para a variável x: como z=(x-3)^{2}, a condição |z|<R_z vira
|(x-3)^{2}|<9 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-3|<3.
Logo o raio de convergência em x é
R=3.

Passo 5

Relação entre coeficientes e derivadas no centro: se uma função tem série de Taylor centrada em x=3
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} (x-3)^{k}
então o coeficiente c_k está ligado à derivada por
f^{(k)}(3)=k!\, c_{k}.
Explicação curta: ao derivar k vezes o termo c_k (x-3)^k surge k!\, c_k e os termos com potência maior ainda contêm fator (x-3) e desaparecem ao avaliar em x=3. Essa é a fórmula padrão de recuperação dos coeficientes de Taylor.

Passo 6

Identificar os coeficientes da nossa série: em nossa representação original os únicos termos que aparecem são das potências k=2n-1. Assim, comparando com a forma c_k (x-3)^k,
c_{2n-1}=\frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{3^{2n+1}}
e para expoentes k que não são da forma 2n-1 (ou seja, para k pares) temos c_k=0.
Em particular:
  • Para k=5 existe n tal que 2n-1=5. Resolvendo 2n-1=5 obtemos n=3.
  • Para k=10 não existe n inteiro com 2n-1=10 (pois 10 é par), logo c_{10}=0.

Passo 7

Calcular f^{(5)}(3). Usando f^{(k)}(3)=k!\, c_k e o item anterior com n=3,
c_{5}=c_{2\cdot 3-1}=\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3^{2\cdot 3+1}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{3^{7}}.
Portanto
f^{(5)}(3)=5!\, c_{5}=120\cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{3^{7}}.
Simplificando o fator numérico: 3^{7}=2187, e dividindo numerador e denominador por 3 obtemos a forma
f^{(5)}(3)=\frac{40\,\sqrt[3]{9}}{729}.

Passo 8

Calcular f^{(10)}(3). Como explicado no Passo 6, não há termo em (x-3)^{10} na série (coeficiente nulo), logo
f^{(10)}(3)=0.

Passo 9

Somar os valores pedidos:
f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3)=\frac{40\,\sqrt[3]{9}}{729}+0=\frac{40\,\sqrt[3]{9}}{729}.

Resposta

R=3
f^{(5)}(3)+f^{(10)}(3)=\dfrac{40\,\sqrt[3]{9}}{729}

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