Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n} x^{n}}{(n+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}x^{n}}{(n+1)^{3}}.
Perguntas explicitamente:
  • Qual é o raio de convergência R dessa série de potências (centrada em 0)?
  • Qual é o intervalo de convergência real (valores de x reais para os quais a série converge), incluindo o que acontece nos extremos?
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes da série (da forma \sum a_n x^n) são
a_n = (-1)^{n}\frac{2^{n}}{(n+1)^{3}}.
  • A série é centrada em 0 (é uma série de potências padrão).

Passo 2

Qual método usar para achar o raio R? Uma forma direta e padrão é usar a fórmula com o limite superior das raízes n-ésimas dos coeficientes:
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Vou usar isso porque aqui os coeficientes envolvem 2^n multiplicado por uma parte que varia lentamente com n, e a raiz n-ésima separa bem essas partes (o teste da raiz é natural para fatores exponenciais c^n). Vou explicar essa fórmula rapidamente: para uma série \sum a_n x^n, a série converge absolutamente se |x| satisfaz \limsup |a_n|^{1/n}\,|x|<1, daí a expressão para R.

Passo 3

Calculemos |a_n| e sua raiz n-ésima:
|a_n| = \frac{2^{n}}{(n+1)^{3}}.
Logo
|a_n|^{1/n} = \frac{2}{(n+1)^{3/n}}.
Preciso do limite (ou limsup) quando n\to\infty de |a_n|^{1/n}. Observe que (n+1)^{3/n} tende a 1. Vou justificar isso de forma clara.

Passo 4

Mostrando \displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+1)^{3/n}=1: tome logaritmos
\ln\big((n+1)^{3/n}\big)=\frac{3}{n}\ln(n+1).
Como \ln(n+1)=o(n), temos \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}=0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}\ln(n+1)=0.
Exponenciando, obtemos
\lim_{n\to\infty}(n+1)^{3/n}=e^{0}=1.

Passo 5

Com isso:
\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+1)^{3/n}}=2.
Portanto o \limsup é 2, e pela fórmula do raio:
R=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora vamos ao intervalo de convergência real: pela definição do raio, a série converge absolutamente para |x|<R, ou seja para |x|<\tfrac{1}{2}. Falta analisar os pontos extremos \,x=\tfrac{1}{2} e \,x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Teste em x=\tfrac{1}{2}. Substituindo na série:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{(n+1)^{3}} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(n+1)^{3}}.
A série absoluta correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3}},
que é uma série p com p=3>1. Sabemos que séries p \sum 1/n^{p} convergem se e somente se p>1. Portanto a série em x=\tfrac{1}{2} converge absolutamente (logo converge).

Passo 8

Teste em x=-\tfrac{1}{2}. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{(n+1)^{3}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3}}.
Aqui não há alternância: os sinais se anulam e sobrou a série de termos positivos \sum 1/(n+1)^{3}, que novamente é uma série p com p=3>1 e converge. Portanto a série também converge (absolutamente) em x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 9

Conclusão final: o raio é R=\tfrac{1}{2} e os dois extremos x=\pm\tfrac{1}{2} pertencem ao intervalo de convergência porque em ambos a série converge absolutamente (pela comparação com a série p de expoente 3).

Resposta

Raio de convergência: \displaystyle \frac{1}{2}.
Intervalo de convergência: \displaystyle \left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right].

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