Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a série de potências
Perguntas explicitamente:
- Qual é o raio de convergência
dessa série de potências (centrada em )? - Qual é o intervalo de convergência real (valores de
reais para os quais a série converge), incluindo o que acontece nos extremos?
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes da série (da forma
) são
- A série é centrada em
(é uma série de potências padrão).
Passo 2
Qual método usar para achar o raio
? Uma forma direta e padrão é usar a fórmula com o limite superior das raízes n-ésimas dos coeficientes:
Vou usar isso porque aqui os coeficientes envolvem
multiplicado por uma parte que varia lentamente com
, e a raiz n-ésima separa bem essas partes (o teste da raiz é natural para fatores exponenciais
). Vou explicar essa fórmula rapidamente: para uma série
, a série converge absolutamente se
satisfaz
, daí a expressão para
.
Passo 3
Calculemos
e sua raiz n-ésima:
Logo
Preciso do limite (ou limsup) quando
de
. Observe que
tende a
. Vou justificar isso de forma clara.
Passo 4
Mostrando
: tome logaritmos
Como
, temos
, então
Exponenciando, obtemos
Passo 5
Com isso:
Portanto o
é
, e pela fórmula do raio:
Passo 6
Agora vamos ao intervalo de convergência real: pela definição do raio, a série converge absolutamente para
, ou seja para
. Falta analisar os pontos extremos
e
.
Passo 7
Teste em
. Substituindo na série:
A série absoluta correspondente é
que é uma série p com
. Sabemos que séries p
convergem se e somente se
. Portanto a série em
converge absolutamente (logo converge).
Passo 8
Teste em
. Substituindo:
Aqui não há alternância: os sinais se anulam e sobrou a série de termos positivos
, que novamente é uma série p com
e converge. Portanto a série também converge (absolutamente) em
.
Passo 9
Conclusão final: o raio é
e os dois extremos
pertencem ao intervalo de convergência porque em ambos a série converge absolutamente (pela comparação com a série p de expoente
).
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: