Considere a série a seguir:
sumk=2^infty (x-1)^k5^k raiz[3]k^4-1
Determine o seu raio de convergência;

Passo 1

Beleza, então a gente tem a seguinte série infinita:
sumk=2^infty (x-1)^k5^k raiz[3]k^4-1
O que queremos descobrir aqui é o raio de convergência dessa série. Basicamente, o raio de convergência nos diz para quais valores de x a série vai “funcionar”, ou seja, para quais x a série vai somar de forma que a gente consiga um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é a parte que depende de k. No caso, o termo geral é:
ak = (x-1)^k5^k raiz[3]k^4-1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste diz que se o limite do quociente entre ak+1 e ak for menor que 1 quando k tende ao infinito, a série converge. Em fórmula, isso fica assim:
limk to infty | ak+1ak | < 1

Passo 4

Vamos calcular esse quociente ak+1ak:
ak+1ak = (x-1)^k+15^k+1 raiz[3](k+1)^4-1 cdot 5^k raiz[3]k^4-1(x-1)^k = | x-15 | cdot ( k^4-1(k+1)^4-1 )^1/3

Passo 5

Vamos analisar o limite desse quociente quando k vai para o infinito:
limk to infty | x-15 | cdot ( k^4-1(k+1)^4-1 )^1/3 = | x-15 |
Isso acontece porque a razão k^4-1(k+1)^4-1 tende a 1 conforme k cresce, e a raiz cúbica de 1 é 1.

Passo 6

De acordo com o teste da razão, para a série convergir, precisamos que:
| x-15 | < 1

Passo 7

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x:
| x - 1 | < 5
Isso significa que x deve estar dentro de um intervalo onde a distância entre x e 1 seja menor que 5.

Resposta

O raio de convergência da série é 5.

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