Questão: Decidir se a série dada converge ou não. Em caso afirmativo, dizer se a convergência é absoluta ou condicional.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série alternada
converge ou não. Se convergir, temos de dizer se é convergência absoluta ou condicional. Vamos primeiro testar a convergência absoluta (teste da razão) e, se isso for inconclusivo, analisar o comportamento do termo geral usando Stirling e o teste do termo geral.
Passo 2
Definindo
aplicamos o teste da razão para a série de termos positivos
. Calculamos
Passo 3
Observamos que
logo
Como o limite é 1, o teste da razão não nos dá informação (inconclusivo).
Passo 4
Para saber o que ocorre com
, usamos a aproximação de Stirling:
Então
o que implica
Passo 5
Como
cresce como
, temos
ou seja,
não tende a zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.
Resposta
A série diverge.