\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão: Decidir se a série dada converge ou não. Em caso afirmativo, dizer se a convergência é absoluta ou condicional.
(1,0) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{e^{2 n}(n!)^{2}}{n^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{e^{2n}\,(n!)^{2}}{n^{2n}}
converge ou não. Se convergir, temos de dizer se é convergência absoluta ou condicional. Vamos primeiro testar a convergência absoluta (teste da razão) e, se isso for inconclusivo, analisar o comportamento do termo geral usando Stirling e o teste do termo geral.

Passo 2

Definindo
b_n = \frac{e^{2n}(n!)^2}{n^{2n}},
aplicamos o teste da razão para a série de termos positivos b_n. Calculamos
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{e^{2(n+1)}\bigl((n+1)!\bigr)^2/(n+1)^{2(n+1)}}{e^{2n}(n!)^2/n^{2n}} = e^2\,(n+1)^2\;\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}} = e^2\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{2n}.

Passo 3

Observamos que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{2n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{-2n} =e^{-2},
logo
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = e^2\cdot e^{-2} =1.
Como o limite é 1, o teste da razão não nos dá informação (inconclusivo).

Passo 4

Para saber o que ocorre com b_n, usamos a aproximação de Stirling:
\ln(n!) = n\ln n - n + \tfrac12\ln(2\pi n) + o(1).
Então
\ln b_n =2n + 2\ln(n!) - 2n\ln n =2n + 2\bigl(n\ln n - n + \tfrac12\ln(2\pi n)\bigr) - 2n\ln n + o(1) =\ln(2\pi n) + o(1),
o que implica
b_n \sim 2\pi n \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 5

Como b_n cresce como 2\pi n, temos
|a_n| = b_n \to \infty,
ou seja, a_n =(-1)^{n-1}b_n não tende a zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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