Utilize os testes de comparação para verificar se as séries abaixo convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+4^{n}}{2+3^{n}}.

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+4^{n}}{2+3^{n}}
e queremos testar sua convergência usando o teste de comparação. Lembrando que, para séries de termos não negativos, se encontrarmos outra série b_n tal que 0\le b_n\le a_n e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.

Passo 2

Para n\ge1 vale
1+4^n>4^n \quad\text{e}\quad 2+3^n<2\cdot3^n
Logo, definindo
a_n=\frac{1+4^n}{2+3^n},
temos
a_n =\frac{1+4^n}{2+3^n} >\frac{4^n}{2\cdot3^n} =\frac12\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n.
Definimos então
b_n=\frac12\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n.

Passo 3

A série \sum b_n é geométrica de razão
q=\frac{4}{3}>1,
e sabemos que uma série geométrica com \lvert q\rvert>1 diverge (os termos não tendem a zero e os somatórios crescem sem limite).

Passo 4

Como para todo n temos
0\le b_n \le a_n
e \sum b_n diverge, pelo teste de comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+4^{n}}{2+3^{n}} diverge.

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