Considere a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!}.
(a) Mostre que a série é convergente.
(b) Use a Estimativa do Resto para a Série Alternada para determinar quantos termos da série são necessários para aproximar a soma com uma precisão de cinco casas decimais ( \mid erro \mid<0.000005 ).
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}
O conteúdo envolvido é o Critério de Leibniz (séries alternadas) para testar convergência e a Estimativa do Resto nessa mesma série para controlar o erro de truncamento.
Passo 2
Para aplicar o Critério de Leibniz, definimos
a_n = \frac{1}{n!}.
Observe que: 1. a_n>0 para todo n. 2. A sequência \{a_n\} é monótona decrescente, pois
A primeira vez que \tfrac{1}{(N+1)!} fica abaixo de 5\times10^{-6} ocorre para N+1=9, ou seja, N=8.
Resposta
(a) A série é convergente pelo Critério de Leibniz.
(b) São necessários N+1=9 termos (ou seja, somar de n=0 até n=8) para garantir |\text{erro}|<0{,}000005.