Considere a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!}.
(a) Mostre que a série é convergente.
(b) Use a Estimativa do Resto para a Série Alternada para determinar quantos termos da série são necessários para aproximar a soma com uma precisão de cinco casas decimais ( \mid erro \mid<0.000005 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}
O conteúdo envolvido é o Critério de Leibniz (séries alternadas) para testar convergência e a Estimativa do Resto nessa mesma série para controlar o erro de truncamento.

Passo 2

Para aplicar o Critério de Leibniz, definimos
a_n = \frac{1}{n!}.
Observe que:
1. a_n>0 para todo n.
2. A sequência \{a_n\} é monótona decrescente, pois
\frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}\cdot\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n!}.
3. \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}=0.
Pelo Critério de Leibniz, essas três condições garantem que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}
é convergente.

Passo 3

Para estimar o número de termos necessários para que o erro seja menor que 0{,}000005, usamos a Estimativa do Resto para séries alternadas:
|R_{N}| = \biggl|\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\biggr|\le a_{N+1} = \frac{1}{(N+1)!}.
Queremos
\frac{1}{(N+1)!} < 0{,}000005 = 5\times10^{-6}.

Passo 4

Calculamos (N+1)! até satisfazer a desigualdade:
6! = 720,\quad \frac{1}{6!}\approx1{,}3889\times10^{-3}>5\times10^{-6},
7! = 5040,\quad \frac{1}{7!}\approx1{,}9841\times10^{-4}>5\times10^{-6},
8! = 40320,\quad \frac{1}{8!}\approx2{,}4802\times10^{-5}>5\times10^{-6},
9! = 362880,\quad \frac{1}{9!}\approx2{,}7557\times10^{-6}<5\times10^{-6}.
A primeira vez que \tfrac{1}{(N+1)!} fica abaixo de 5\times10^{-6} ocorre para N+1=9, ou seja, N=8.

Resposta

(a) A série é convergente pelo Critério de Leibniz.
(b) São necessários N+1=9 termos (ou seja, somar de n=0 até n=8) para garantir |\text{erro}|<0{,}000005.

Exercícios relacionados