Resolva os seguintes problemas, aplicando o Teste da Série Alternada ou o Teste da Divergência quando apropriado. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Verifique a convergência ou divergência da série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{2 n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}.
O conteúdo da matéria envolve dois testes principais:
1. Teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge).
2. Teste da série alternada de Leibniz (se \{b_n\} é monótona decrescente e tende a zero, então a série alternada converge).

Passo 2

Denotemos o termo geral por
t_n = (-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}.
Para qualquer série convergente é condição necessária que
\lim_{n\to\infty} t_n = 0.
Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 + \frac{1}{n^{2}}} =\frac{1}{2}.
Logo
\lim_{n\to\infty}t_n =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}
não existe como zero (oscila entre \pm\frac12). Portanto o termo geral não tende a zero.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência, pois o termo geral não tende a zero.

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