Questão 1
a) Prove que o conjunto
dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
Sugestão: associe a cada
o subconjunto
e veja a solução da
Questão da
Lista de Exercícios.
b) Um número real
chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Por exemplo, todo
é algébrico (tome
) e
primo (tome
). Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
Sugestão: use o seguinte resultado de anéis de polinômios: “todo polinômio de grau
e coeficientes reais possui no máximo n raízes”. Se
é o conjunto dos polinômios
de grau
, associe a cada
o conjunto
de suas raízes reais (podemos ter
, por exemplo
). Se
é o conjunto dos números algébricos prove que
.
c) Um número real é transcendente quando não é algébrico. Prove que o conjunto dos números transcendentes não é enumerável.
b) Um número real
Sugestão: use o seguinte resultado de anéis de polinômios: “todo polinômio de grau
c) Um número real é transcendente quando não é algébrico. Prove que o conjunto dos números transcendentes não é enumerável.
Passo 1
Resumimos o enunciado:
– (a) Mostrar que é enumerável.
– (b) Mostrar que o conjunto dos números algébricos (raízes de algum polinômio em
) é enumerável.
– (c) Mostrar que o conjunto dos números transcendentes (complemento de em
) não é enumerável.
Conteúdo: teoria de conjuntos enumeráveis – é enumerável, produtos e uniões enumeráveis de conjuntos enumeráveis são enumeráveis; fato de que polinômio de grau
tem no máximo
raízes reais; e que
é não enumerável.
– (a) Mostrar que
– (b) Mostrar que o conjunto
– (c) Mostrar que o conjunto dos números transcendentes (complemento de
Conteúdo: teoria de conjuntos enumeráveis –
Passo 2
Para (a), observe que cada polinômio de grau
em
é completamente determinado pelo tuplo de coeficientes
. Como
é enumerável, todo produto finito
também é enumerável. E
é uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, logo
é enumerável.
Passo 3
Para (b), seja
o conjunto dos polinômios de grau pelo menos
. Como
, concluímos já que
é enumerável. (Opcionalmente, podemos ainda agrupar por grau
e usar que cada
é enumerável.)
é enumerável.)
Passo 4
Defina para cada
o conjunto de suas raízes reais
. Pelo resultado de anéis de polinômios,
. Como
temos que
é união enumerável de conjuntos finitos, portanto
é enumerável.
Passo 5
Para (c), usamos que
é não enumerável. Como
é enumerável, o complemento
é não enumerável. Mas é precisamente o conjunto dos números transcendentes, concluindo que ele não é enumerável.
é não enumerável. Mas
Resposta
a)
é enumerável.
b) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
c) O conjunto dos números transcendentes não é enumerável.
b) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
c) O conjunto dos números transcendentes não é enumerável.