Questão 1

a) Prove que o conjunto \mathbb{Z}[x] dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
Sugestão: associe a cada p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} \in \mathbb{Z}[x] o subconjunto \left\{a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}, a_{n}\right\} \subset Z e veja a solução da 3^{\mathrm{a}} Questão da 1^{\mathrm{a}} Lista de Exercícios.
b) Um número real \alpha chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Por exemplo, todo \alpha=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} é algébrico (tome f(x)=p x-q \in \mathbb{Z}[x] ) e \alpha=\sqrt[n]{p}, p primo (tome f(x)=x^{n}-p \in \mathbb{Z}[x] ). Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
Sugestão: use o seguinte resultado de anéis de polinômios: “todo polinômio de grau n e coeficientes reais possui no máximo n raízes”. Se B é o conjunto dos polinômios f(x) \in \mathbb{Z}[x] de grau n \geq 1, associe a cada f(x) \in B o conjunto \mathscr{R}_{f(x)} de suas raízes reais (podemos ter \mathscr{R}_{f(x)}=\emptyset, por exemplo f(x)=x^{2}+x+1 ). Se \mathscr{A} é o conjunto dos números algébricos prove que \mathscr{A}=\bigcup_{f(x) \in B} \mathscr{R}_{f(x)}.
c) Um número real é transcendente quando não é algébrico. Prove que o conjunto dos números transcendentes não é enumerável.

Passo 1

Resumimos o enunciado:
– (a) Mostrar que \mathbb{Z}[x] é enumerável.
– (b) Mostrar que o conjunto \mathscr{A} dos números algébricos (raízes de algum polinômio em \mathbb{Z}[x]) é enumerável.
– (c) Mostrar que o conjunto dos números transcendentes (complemento de \mathscr{A} em \mathbb{R}) não é enumerável.
Conteúdo: teoria de conjuntos enumeráveis – \mathbb{Z} é enumerável, produtos e uniões enumeráveis de conjuntos enumeráveis são enumeráveis; fato de que polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais; e que \mathbb{R} é não enumerável.

Passo 2

Para (a), observe que cada polinômio de grau n em \mathbb{Z}[x] é completamente determinado pelo tuplo de coeficientes (a_{0},a_{1},\dots,a_{n})\in\mathbb{Z}^{n+1}. Como \mathbb{Z} é enumerável, todo produto finito \mathbb{Z}^{n+1} também é enumerável. E
\mathbb{Z}[x] =\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{Z}^{n+1}
é uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, logo \mathbb{Z}[x] é enumerável.

Passo 3

Para (b), seja
B=\{\,f\in\mathbb{Z}[x]\mid \deg f\ge1\}
o conjunto dos polinômios de grau pelo menos 1. Como B\subset\mathbb{Z}[x], concluímos já que B é enumerável. (Opcionalmente, podemos ainda agrupar por grau n e usar que cada \{f:\deg f=n\}\subset\mathbb{Z}^{n+1}
é enumerável.)

Passo 4

Defina para cada f\in B o conjunto de suas raízes reais \mathscr{R}_{f}. Pelo resultado de anéis de polinômios, \lvert\mathscr{R}_{f}\rvert\le\deg f<\infty. Como
\mathscr{A} =\bigcup_{f\in B}\mathscr{R}_{f},
temos que \mathscr{A} é união enumerável de conjuntos finitos, portanto \mathscr{A} é enumerável.

Passo 5

Para (c), usamos que \mathbb{R} é não enumerável. Como \mathscr{A} é enumerável, o complemento \mathscr{T}=\mathbb{R}\setminus\mathscr{A}
é não enumerável. Mas \mathscr{T} é precisamente o conjunto dos números transcendentes, concluindo que ele não é enumerável.

Resposta

a) \mathbb{Z}[x] é enumerável.
b) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
c) O conjunto dos números transcendentes não é enumerável.

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