Resolva os seguintes problemas, aplicando o Teste da Série Alternada ou o Teste da Divergência quando apropriado. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n+5} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n+5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, usando o Teste da Série Alternada ou o Teste da Divergência. O conteúdo aqui é reconhecimento de séries alternadas e aplicação dos critérios de convergência.

Passo 2

Aplicamos primeiro o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral): para que haja convergência é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_n=0,
onde a_n = (-1)^{n-1}\frac{1}{n+5}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n+5} =0.
Como o limite é zero, o teste da divergência é inconclusivo, mas não descarta convergência.

Passo 3

Usamos então o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz). Definimos
b_n = \frac{1}{n+5}.
Precisamos verificar três condições:
1. b_n>0 para todo n\ge1, o que é claro pois n+5>0.
2. \lim_{n\to\infty}b_n=0, pois \lim_{n\to\infty}1/(n+5)=0.
3. b_{n+1}\le b_n (monotonia decrescente). Note que a função f(x)=1/(x+5) tem derivada
f'(x)=-\frac{1}{(x+5)^2}<0\quad\text{para }x\ge1,
logo b_n é decrescente.
Como as três condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas, concluímos que a série converge.

Passo 4

Para verificar se a convergência é absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\frac{1}{n+5}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5}.
Essa série diverge por comparação com a série harmônica \sum1/n. Portanto, a convergência não é absoluta, mas sim condicional.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n+5}
converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

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