Esboce o gráfico das superfícies cilíndricas abaixo:
z=x^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a equação da superfície \,z=x^{2}\,. O pedido é esboçar (desenhar) o gráfico dessa superfície em \mathbb{R}^{3}. Informações relevantes que o enunciado fornece: \,x\in\mathbb{R}\,, \,y\in\mathbb{R}\, e \,z é dado por \,x^{2}\, (ou seja, z depende só de x, não de y). A partir disso precisamos representar geometricamente o conjunto de pontos \{(x,y,z)\mid z=x^{2}\}.

Passo 2

Entendendo a equação: a fórmula \,z=x^{2}\, diz que para cada par (x,y) o valor de z é simplesmente x^{2}. Note que não aparece y na equação, então trocar y não altera z. Isso significa que a superfície é obtida repetindo (ou “extrudando”) a curva plana z=x^{2} ao longo da direção do eixo y. Uma explicação simples do conceito que vamos usar: se você tem uma curva no plano xz e a “puxa” paralelamente ao eixo y, o lugar geométrico formado é uma superfície chamada superfície cilíndrica (porque toda seção paralela ao eixo de extrusão é igual à curva original).

Passo 3

Traços (interseções com planos coordenados) — por que são úteis: traços ajudam muito a visualizar superfícies 3D porque reduzem o problema a curvas 2D que conhecemos.
  • Interseção com o plano \,y=y_0\, (qualquer constante y_0): substituindo y=y_0 obtemos \,z=x^{2}\,. Ou seja, em qualquer plano paralelo ao plano xz (fixando y), a interseção é sempre a mesma parábola \,z=x^{2}\,. Isso confirma a ideia de “parábola repetida” ao longo do eixo y.
  • Interseção com o plano \,x=x_0\,: substituindo x=x_0 obtemos \,z=x_0^{2}\,, constante. Como y permanece livre, a interseção é uma reta paralela ao eixo y situada na altura z=x_0^{2} e posição x=x_0. Ou seja, para cada x_0 temos uma linha horizontal (na direção y) localizada em z=x_0^2.
  • Interseção com o plano \,z=z_0\,: resolver \,z_0=x^{2}\,. Se z_0<0 não há interseção. Se z_0=0 a interseção é a reta \,x=0 (toda a reta paralela a y em x=0). Se z_0>0 a interseção são duas retas paralelas: x=\pm\sqrt{z_0} (cada uma para todo y). Em termos práticos, planos horizontais cortam a superfície em uma ou duas retas paralelas.

Passo 4

Pontos e curvas-chave para desenhar: escolha pontos simples no plano y=0 (plano frontal) para desenhar a parábola no plano xz:
(0,0,0),\quad (1,0,1),\quad (-1,0,1),\quad (2,0,4),\quad (-2,0,4).
Desenhe a parábola que passa por esses pontos no plano y=0. Depois, lembre-se: para y=1 você terá a mesma parábola deslocada para o plano y=1; para y=-1 a mesma coisa, etc. Assim, basta desenhar algumas cópias da parábola para diferentes valores de y (por exemplo y=-1,0,1) para ficar claro que a superfície se estende indefinidamente nessa direção.

Passo 5

Como posicionar os eixos e fazer o esboço (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe três eixos ortogonais: escolha x horizontal para a direita, z vertical para cima e y saindo/entrando na página (geralmente indicado com um eixo apontando para trás, com uma seta e rótulo y).
  2. No plano frontal (o plano y=0, que é o plano formado pelos eixos x e z), desenhe a parábola \,z=x^{2}\, com vértice em (0,0,0) e crescendo para cima conforme |x| aumenta. Use os pontos do Passo 4 para guiar a curvatura.
  3. Agora “copie” essa parábola várias vezes paralelamente ao eixo y: desenhe a mesma parábola deslocada para trás e para frente (por exemplo desenhe linhas leves indicativas em y=1 e y=-1). Conecte visualmente estas cópias com traços suaves para dar a sensação de superfície contínua.
  4. Acrescente setas ao longo das cópias paralelas para indicar que a superfície continua indefinidamente em ambas as direções do eixo y.

Passo 6

Visualizações auxiliares que ajudam no esboço:
  • Vista frontal (projeção no plano xz): você verá a parábola \,z=x^{2}\,.
  • Vista lateral (projeção no plano yz): como z não depende de y, a projeção lateral será uma faixa vertical com a “altura” variando com x — mais simples: a vista lateral não mostra curvatura, porque ao colapsar o eixo x você perde a informação do formato; por isso as vistas frontais (ou cortes y= const) são as mais úteis.
  • Vista superior (projeção no plano xy): ao ver de cima você verá toda a reta y para cada x, i.e., a projeção é o plano xy inteiro (para todo x,y existe um z). Mas, se em vez disso você desenhar curvas de nível z= constante, obterá linhas rectas em x=\pm\sqrt{z} (para z>0), que aparecem como duas linhas paralelas na vista superior.

Passo 7

Dicas de acabamento para o rascunho: desenhe a borda frontal da parábola com traço mais forte (plano y=0), as cópias posteriores com traço pontilhado ou mais fraco e coloque pequenas setas ao longo do eixo y indicando que a superfície se estende. Se tiver pouco tempo na prova, desenhe a parábola no plano frontal e acrescente duas setas paralelas ao eixo y mostrando que essa parábola se repete — isso já demonstra compreensão e vale muitos pontos.

Passo 8

Resumo didático rápido (para fixar): a superfície é uma “parabólica cilíndrica” — isto é, a parábola \,z=x^{2}\, no plano y=0 levada (repetida) para todos os valores de y. Pense sempre: se a equação não tem y, então a superfície é obtida repetindo a curva definida pelas variáveis restantes ao longo do eixo ausente.

Resposta

Superfície cilíndrica parabólica: a parábola \,z=x^{2}\, no plano y=0 extrudada paralelamente ao eixo y (parábola repetida para todo y).

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