Esboce o gráfico das superfícies cilíndricas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a equação da superfície
. O pedido é esboçar (desenhar) o gráfico dessa superfície em
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
,
e
é dado por
(ou seja,
depende só de
, não de
). A partir disso precisamos representar geometricamente o conjunto de pontos
.
Passo 2
Entendendo a equação: a fórmula
diz que para cada par
o valor de
é simplesmente
. Note que não aparece
na equação, então trocar
não altera
. Isso significa que a superfície é obtida repetindo (ou “extrudando”) a curva plana
ao longo da direção do eixo
. Uma explicação simples do conceito que vamos usar: se você tem uma curva no plano
e a “puxa” paralelamente ao eixo
, o lugar geométrico formado é uma superfície chamada superfície cilíndrica (porque toda seção paralela ao eixo de extrusão é igual à curva original).
Passo 3
Traços (interseções com planos coordenados) — por que são úteis: traços ajudam muito a visualizar superfícies 3D porque reduzem o problema a curvas 2D que conhecemos.
-
Interseção com o plano
(qualquer constante ): substituindo obtemos . Ou seja, em qualquer plano paralelo ao plano (fixando ), a interseção é sempre a mesma parábola . Isso confirma a ideia de “parábola repetida” ao longo do eixo . -
Interseção com o plano
: substituindo obtemos , constante. Como permanece livre, a interseção é uma reta paralela ao eixo situada na altura e posição . Ou seja, para cada temos uma linha horizontal (na direção ) localizada em . -
Interseção com o plano
: resolver . Se não há interseção. Se a interseção é a reta (toda a reta paralela a em ). Se a interseção são duas retas paralelas: (cada uma para todo ). Em termos práticos, planos horizontais cortam a superfície em uma ou duas retas paralelas.
Passo 4
Pontos e curvas-chave para desenhar: escolha pontos simples no plano
(plano frontal) para desenhar a parábola no plano
:
Desenhe a parábola que passa por esses pontos no plano
. Depois, lembre-se: para
você terá a mesma parábola deslocada para o plano
; para
a mesma coisa, etc. Assim, basta desenhar algumas cópias da parábola para diferentes valores de
(por exemplo
) para ficar claro que a superfície se estende indefinidamente nessa direção.
Passo 5
Como posicionar os eixos e fazer o esboço (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe três eixos ortogonais: escolha
horizontal para a direita, vertical para cima e saindo/entrando na página (geralmente indicado com um eixo apontando para trás, com uma seta e rótulo ). - No plano frontal (o plano
, que é o plano formado pelos eixos e ), desenhe a parábola com vértice em e crescendo para cima conforme aumenta. Use os pontos do Passo 4 para guiar a curvatura. - Agora “copie” essa parábola várias vezes paralelamente ao eixo
: desenhe a mesma parábola deslocada para trás e para frente (por exemplo desenhe linhas leves indicativas em e ). Conecte visualmente estas cópias com traços suaves para dar a sensação de superfície contínua. - Acrescente setas ao longo das cópias paralelas para indicar que a superfície continua indefinidamente em ambas as direções do eixo
.
Passo 6
Visualizações auxiliares que ajudam no esboço:
- Vista frontal (projeção no plano
): você verá a parábola . - Vista lateral (projeção no plano
): como não depende de , a projeção lateral será uma faixa vertical com a “altura” variando com — mais simples: a vista lateral não mostra curvatura, porque ao colapsar o eixo você perde a informação do formato; por isso as vistas frontais (ou cortes const) são as mais úteis. - Vista superior (projeção no plano
): ao ver de cima você verá toda a reta para cada , i.e., a projeção é o plano inteiro (para todo existe um ). Mas, se em vez disso você desenhar curvas de nível constante, obterá linhas rectas em (para ), que aparecem como duas linhas paralelas na vista superior.
Passo 7
Dicas de acabamento para o rascunho: desenhe a borda frontal da parábola com traço mais forte (plano
), as cópias posteriores com traço pontilhado ou mais fraco e coloque pequenas setas ao longo do eixo
indicando que a superfície se estende. Se tiver pouco tempo na prova, desenhe a parábola no plano frontal e acrescente duas setas paralelas ao eixo
mostrando que essa parábola se repete — isso já demonstra compreensão e vale muitos pontos.
Passo 8
Resumo didático rápido (para fixar): a superfície é uma “parabólica cilíndrica” — isto é, a parábola
no plano
levada (repetida) para todos os valores de
. Pense sempre: se a equação não tem
, então a superfície é obtida repetindo a curva definida pelas variáveis restantes ao longo do eixo ausente.
Resposta
Superfície cilíndrica parabólica: a parábola
no plano
extrudada paralelamente ao eixo
(parábola repetida para todo
).