Considere a série
(a) Prove com argumentos rigorosos que a série (4) converge.
(b) Sejam
a soma da série,
a n-ésima soma parcial e
o erro de aproximação de
por
. Obtenha um número natural
tal que
.
(b) Sejam
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
(a) Mostrar, com argumentos rigorosos, que a série converge.
(b) Definindo
como a soma da série,
a
-ésima soma parcial e
o erro, obter um natural
tal que
.
Informações relevantes que já temos do enunciado: os termos (em módulo) são
, todos positivos; a série é alternada por causa do fator
. A resolução começa agora.
Passo 2
Mostramos que a sequência
satisfaz as duas condições que geralmente são usadas para séries alternadas:
é monótona decrescente e
.
- Monotonicidade: para
vale . Tirando raiz positiva obtemos . Tomando recíprocos (os reciprócos preservam a desigualdade quando os termos são positivos) obtemos
Logo
é decrescente.
- Limite nulo: queremos mostrar
. Uma prova - curta: seja . Se escolhermos um tal que
então para todo
temos
, portanto
Isso prova que o limite é
.
Concluímos que
,
é decrescente e
.
Passo 3
Aplico o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). Vou explicar o que esse teste afirma e por que é aplicável aqui.
Enunciado do teste (forma útil para provas): se
é uma sequência de números reais tais que
-
para todo , -
é monotonicamente decrescente (ou seja, para todo ), -
,
então a série alternada
converge. Além disso, o erro ao truncar após
termos satisfaz a estimativa (chamada estimativa de Leibniz)
Breve justificativa (intuição rigorosa) da estimativa: compare as somas parciais de ordem par e ímpar. Defina
Pelo sinal alternado e pelo fato de
decrescer, a sequência
é crescente e limitada superiormente por qualquer
, enquanto
é decrescente e limitada inferiormente por qualquer
. Assim as duas subsequências convergem para o mesmo limite
. O erro ao truncar após
termos tem sinal conhecido (alterna) e magnitude menor que o primeiro termo omitido, i.e.
. Essa é a derivação padrão do teste de Leibniz.
Passo 4
Aplicando o resultado do passo anterior aos nossos termos
(que já provamos ser positivos, decrescentes e com limite zero), concluímos rigorosamente que a série
converge. Como a série dos módulos
diverge (ver passo 5), a convergência é condicional.
Passo 5
Mostro que a série não converge absolutamente (isto é,
diverge). Use o teste da integral ou o fato de que é uma p-série com
.
Pelo teste da integral, considere a função
para
. Temos
Como a integral divergente implica a divergência da série de termos positivos correspondentes, segue que
Portanto a convergência da série alternada é condicional, não absoluta.
Passo 6
Agora resolvemos a parte (b): obter
tal que
.
Pelo estimativa de Leibniz do passo 3, para qualquer
vale
Queremos garantir
Resolvendo a desigualdade: escrevendo
(tudo em notação matemática),
Assim precisamos de
, ou seja
. Note que se tomássemos
teríamos
, que não satisfaz a desigualdade estrita pedida. Portanto o menor natural
que garante
é
Qualquer
também funciona.
Resposta
(a) A série converge (convergência condicional).
(b)
(b)