Verifique a convergência/divergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} n}{n \sqrt{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} n}{n \sqrt{n}}
Passo 1
Enunciado: analisar a convergência da série
Informações dadas e o que é pedido:
- A série tem termo geral
. - Observação:
é o mesmo que , então posso reescrever o termo. - Pergunta: a série converge ou diverge? (Queremos decidir isso rigorosamente.)
Passo 2
Reescrevendo o termo de forma mais conveniente:
logo o termo geral é
Isso já facilita porque agora vemos um fator
no denominador, que lembra uma série do tipo
.
Passo 3
Uma observação simples sobre
: para todo
vale
Dividindo essa desigualdade positiva por
obtemos
Ou seja, os termos da série estão todos entre
e
.
Passo 4
Agora preciso de um fato padrão (e muito útil) sobre séries p: a série
converge se, e somente se,
. Uma justificativa curta: aplicar o teste da integral ao integrando
; o integral
converge exatamente quando
, e isso dá a convergência da série p. Neste problema temos
, que satisfaz
. Portanto
é uma série convergente (é uma p-série convergente).
Passo 5
Aplicando o teste da comparação direta: se
para todo
e
converge, então
também converge. Tomando
já mostramos em \
Passo 6
converge.
Além disso, como todos os termos são não negativos, essa convergência é também convergência absoluta (para séries reais, termos não negativos significam que o valor absoluto do termo é o próprio termo).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).