Verifique a convergência/divergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} n}{n \sqrt{n}}

Passo 1

Enunciado: analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} n}{n \sqrt{n}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A série tem termo geral \dfrac{\operatorname{sen}^{2} n}{n\sqrt{n}}.
  • Observação: \operatorname{sen} n é o mesmo que \sin n, então posso reescrever o termo.
  • Pergunta: a série converge ou diverge? (Queremos decidir isso rigorosamente.)

Passo 2

Reescrevendo o termo de forma mais conveniente:
n\sqrt{n}=n\cdot n^{1/2}=n^{3/2},
logo o termo geral é
a_n=\frac{\sin^{2} n}{n^{3/2}}.
Isso já facilita porque agora vemos um fator n^{3/2} no denominador, que lembra uma série do tipo \sum 1/n^{p}.

Passo 3

Uma observação simples sobre \sin^{2} n: para todo n vale
0\le \sin^{2} n \le 1.
Dividindo essa desigualdade positiva por n^{3/2}>0 obtemos
0 \le \frac{\sin^{2} n}{n^{3/2}} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Ou seja, os termos da série estão todos entre 0 e 1/n^{3/2}.

Passo 4

Agora preciso de um fato padrão (e muito útil) sobre séries p: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Uma justificativa curta: aplicar o teste da integral ao integrando x^{-p}; o integral \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge exatamente quando p>1, e isso dá a convergência da série p. Neste problema temos p=\tfrac{3}{2}, que satisfaz p=\tfrac{3}{2}>1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
é uma série convergente (é uma p-série convergente).

Passo 5

Aplicando o teste da comparação direta: se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Tomando
a_n=\frac{\sin^{2} n}{n^{3/2}},\qquad b_n=\frac{1}{n^{3/2}},
já mostramos em \

Passo 6

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2} n}{n^{3/2}}
converge.
Além disso, como todos os termos são não negativos, essa convergência é também convergência absoluta (para séries reais, termos não negativos significam que o valor absoluto do termo é o próprio termo).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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