Verifique a convergência/divergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - Note que
, então . - Para
os termos são não negativos (de fato positivos para ). - A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série.
Passo 2
Escolho utilizar o Teste da Integral (Integral Test) porque é um método direto e elementar para séries cujos termos têm a forma
com
ligada a uma função contínua. Outra alternativa que funciona bem aqui é o Teste da Condensação de Cauchy; eu vou mostrar primeiro o Teste da Integral e, em seguida, dar a demonstração rápida pelo Teste da Condensação como reforço.
Passo 3
Enunciado do Teste da Integral (explicado de forma simples): seja
uma função tal que
-
é positiva, -
é contínua, -
é decrescente,
e defina. Então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge. Aqui cada símbolo significa: -
é a função que estendemos a partir do termo geral , -
é um inteiro a partir do qual as condições valem (pode ser , , etc.), - “converge” para a integral significa que o limite do integral próprio quando o limite superior tende a
é finito.
Passo 4
Verifico as condições do Teste da Integral para a função
- Continuidade:
é contínua para (a composição de e divisão por é contínua onde definida). - Positividade: para
tem-se , logo para . (Observe que é um termo isolado e não altera a convergência.) - Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para ver onde é decrescente.
Agora análise do sinal: o denominador
é positivo para
. O numerador
é negativo quando
, isto é, quando
(lembre que
). Portanto
para todo
, ou seja,
é decrescente a partir de qualquer
. Como o teste da integral permite começar a partir de um
suficientemente grande, as condições do teste ficam satisfeitas para
.
Passo 5
Aplico o Teste da Integral: avalio a integral imprópria
Faço a substituição natural
. Então
, e os limites mudam: quando
tem
, e quando
tem
. Assim
Agora integro:
Esse limite é infinito porque
quando
. Logo a integral diverge (é infinita).
Passo 6
Pelo Teste da Integral, como a integral imprópria
diverge e as hipóteses do teste são satisfeitas a partir de
, concluímos que a série
diverge. (Os primeiros termos finitos, como
, não alteram essa conclusão.)
Passo 7
Como reforço (dica de prova alternativa rápida que costuma aparecer em provas): uso o Teste da Condensação de Cauchy. Seja
com
positivo e decrescente para
grande. O teste diz que
converge se, e somente se,
converge. Aqui
Portanto a série condensada é
, e esta última diverge porque os termos
não vão a zero (na verdade
diverge para
). Assim pela Condensação também obtemos divergência da série original. Esta via é curta e elegantemente evita cálculo de integrais — boa ferramenta para usar em provas.