Verifique a convergência/divergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\ln n}{n}.
  • Note que \ln 1=0, então a_1=\dfrac{\ln 1}{1}=0.
  • Para n\ge 2 os termos a_n são não negativos (de fato positivos para n\ge 2).
  • A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série.

Passo 2

Escolho utilizar o Teste da Integral (Integral Test) porque é um método direto e elementar para séries cujos termos têm a forma f(n) com f ligada a uma função contínua. Outra alternativa que funciona bem aqui é o Teste da Condensação de Cauchy; eu vou mostrar primeiro o Teste da Integral e, em seguida, dar a demonstração rápida pelo Teste da Condensação como reforço.

Passo 3

Enunciado do Teste da Integral (explicado de forma simples): seja f:(N,\infty)\to\mathbb{R} uma função tal que
  • f é positiva,
  • f é contínua,
  • f é decrescente,
    e defina a_n=f(n). Então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge. Aqui cada símbolo significa:
  • f(x) é a função que estendemos a partir do termo geral a_n,
  • N é um inteiro a partir do qual as condições valem (pode ser 2, 3, etc.),
  • “converge” para a integral significa que o limite do integral próprio quando o limite superior tende a \infty é finito.

Passo 4

Verifico as condições do Teste da Integral para a função
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0.
  • Continuidade: f é contínua para x>0 (a composição de \ln x e divisão por x é contínua onde definida).
  • Positividade: para x>1 tem-se \ln x>0, logo f(x)>0 para x>1. (Observe que a_1=0 é um termo isolado e não altera a convergência.)
  • Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para ver onde é decrescente.
f'(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)'=\frac{1\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.
Agora análise do sinal: o denominador x^2 é positivo para x>0. O numerador 1-\ln x é negativo quando \ln x>1, isto é, quando x>e (lembre que e\approx 2{,}718). Portanto f'(x)<0 para todo x>e, ou seja, f é decrescente a partir de qualquer N\ge 3. Como o teste da integral permite começar a partir de um N suficientemente grande, as condições do teste ficam satisfeitas para x\ge 3.

Passo 5

Aplico o Teste da Integral: avalio a integral imprópria
\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Faço a substituição natural u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, e os limites mudam: quando x=3 tem u=\ln 3, e quando x\to\infty tem u\to\infty. Assim
\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx=\int_{\ln 3}^{\infty} u\,du.
Agora integro:
\int_{\ln 3}^{\infty} u\,du=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{u^2}{2}\right]_{u=\ln 3}^{u=T}=\lim_{T\to\infty}\left(\frac{T^2}{2}-\frac{(\ln 3)^2}{2}\right).
Esse limite é infinito porque \dfrac{T^2}{2}\to\infty quando T\to\infty. Logo a integral diverge (é infinita).

Passo 6

Pelo Teste da Integral, como a integral imprópria \displaystyle\int_{3}^{\infty}\dfrac{\ln x}{x}\,dx diverge e as hipóteses do teste são satisfeitas a partir de n=3, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}
diverge. (Os primeiros termos finitos, como a_1=0, não alteram essa conclusão.)

Passo 7

Como reforço (dica de prova alternativa rápida que costuma aparecer em provas): uso o Teste da Condensação de Cauchy. Seja a_n=\dfrac{\ln n}{n} com a_n positivo e decrescente para n grande. O teste diz que \sum a_n converge se, e somente se, \sum 2^k a_{2^k} converge. Aqui
2^k a_{2^k}=2^k\cdot\frac{\ln(2^k)}{2^k}=\ln(2^k)=k\ln 2.
Portanto a série condensada é \sum_{k=1}^{\infty} k\ln 2=\ln 2\sum_{k=1}^{\infty} k, e esta última diverge porque os termos k não vão a zero (na verdade \sum k diverge para \infty). Assim pela Condensação também obtemos divergência da série original. Esta via é curta e elegantemente evita cálculo de integrais — boa ferramenta para usar em provas.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n} diverge.

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