Represente a função f(x)=\frac{1}{2+x^{2}} em série de potências.
Determine também o raio R de convergência e o intervalo aberto de convergência.
Sugestão. A representação pode ser obtida por manipulação da série geométrica.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Representar a função f(x)=\frac{1}{2+x^{2}} em série de potências (ou seja, como uma soma \sum a_n x^n ou equivalente).
  2. Determinar o raio de convergência R.
  3. Determinar o intervalo aberto de convergência (na reta real).
Informações dadas: a função explicitamente é f(x)=\dfrac{1}{2+x^{2}}. A sugestão diz para usar manipulação da série geométrica.

Passo 2

Lembra da fórmula básica da série geométrica: para um número complexo (ou real) z com |z|<1 vale
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}.
Aqui cada termo z^{n} significa z multiplicado por si mesmo n vezes, e a soma começa em n=0 (com z^{0}=1). A condição |z|<1 é necessária para que a série converja.
Queremos colocar f(x)=\dfrac{1}{2+x^{2}} numa forma que permita usar essa fórmula. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
f(x)=\frac{1}{2+x^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{2}}.
Agora escrevemos 1+\dfrac{x^{2}}{2} como 1- \bigl(-\dfrac{x^{2}}{2}\bigr), isto é:
f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)}.
Portanto podemos aplicar a fórmula da série geométrica tomando z=-\dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Aplicando a série geométrica com z=-\dfrac{x^{2}}{2} (válido enquanto \left|-\dfrac{x^{2}}{2}\right|<1), obtemos
\frac{1}{1-\left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)^{n}.
Multiplicando por \dfrac{1}{2} (o fator que tínhamos), temos
f(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)^{n}.
Agora simplificamos cada termo: \left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)^{n}=(-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{2^{n}}. Logo
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}\,(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2^{\,n+1}}.
Essa é a representação em série de potências. Escrevendo alguns termos para ver concretamente:
f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{8}-\frac{x^{6}}{16}+\cdots.
Explicando: o índice n percorre 0,1,2,\dots; o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{2^{n+1}}, ou seja, só aparecem potências pares x^{0},x^{2},x^{4},\dots.

Passo 4

Agora a convergência: a série geométrica converge quando |z|<1. Aqui z=-\dfrac{x^{2}}{2}, então a condição é
\left|-\dfrac{x^{2}}{2}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{2}<1.
Isto dá x^{2}<2, ou equivalentemente |x|<\sqrt{2}. Portanto o raio de convergência (distância a partir de 0 até as extremidades onde a série deixa de convergir) é
R=\sqrt{2}.
Intuitivamente, isso significa que a série em potências centrada em 0 converge para todos os x com |x|<\sqrt{2}.

Passo 5

Faltam verificar os extremos \pm\sqrt{2} (para decidir se o intervalo é aberto ou inclui extremos). Para x=\pm\sqrt{2} temos x^{2}=2, então o termo geral da série fica
(-1)^{n}\frac{( \pm\sqrt{2})^{2n}}{2^{n+1}} = (-1)^{n}\frac{2^{n}}{2^{n+1}} = (-1)^{n}\frac{1}{2}.
Os termos não tendem a zero (são \pm 1/2 alternando), logo a série não pode convergir nesses pontos (um requisito para convergência é que o termo geral tenda a zero). Portanto as extremidades não são incluídas.
Concluímos que o intervalo de convergência real é aberto:
(-\sqrt{2},\;\sqrt{2}).

Passo 6

Resumo rápido e motivacional: você usou a série geométrica básica, fez a substituição z=-\dfrac{x^{2}}{2}, obteve os coeficientes explícitos (-1)^{n}/2^{n+1} para x^{2n} e viu que a série converge exatamente quando |x|<\sqrt{2}. Bom trabalho — essa técnica (reducão a uma série geométrica) aparece muito em provas por ser rápida e confiável.

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2^{\,n+1}}\n \displaystyle R=\sqrt{2}\n \displaystyle \text{Intervalo de convergência: }(-\sqrt{2},\sqrt{2})ê

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