Represente a função f(x)=\frac{1}{2+x^{2}} em série de potências.
Determine também o raio R de convergência e o intervalo aberto de convergência.
Sugestão. A representação pode ser obtida por manipulação da série geométrica.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Representar a função f(x)=\frac{1}{2+x^{2}} em série de potências (ou seja, como uma soma \sum a_n x^n ou equivalente).
Determinar o raio de convergência R.
Determinar o intervalo aberto de convergência (na reta real).
Informações dadas: a função explicitamente é f(x)=\dfrac{1}{2+x^{2}}. A sugestão diz para usar manipulação da série geométrica.
Passo 2
Lembra da fórmula básica da série geométrica: para um número complexo (ou real) z com |z|<1 vale
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}.
Aqui cada termo z^{n} significa z multiplicado por si mesmo n vezes, e a soma começa em n=0 (com z^{0}=1). A condição |z|<1 é necessária para que a série converja.
Queremos colocar f(x)=\dfrac{1}{2+x^{2}} numa forma que permita usar essa fórmula. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
Explicando: o índice n percorre 0,1,2,\dots; o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{2^{n+1}}, ou seja, só aparecem potências pares x^{0},x^{2},x^{4},\dots.
Passo 4
Agora a convergência: a série geométrica converge quando |z|<1. Aqui z=-\dfrac{x^{2}}{2}, então a condição é
Isto dá x^{2}<2, ou equivalentemente |x|<\sqrt{2}. Portanto o raio de convergência (distância a partir de 0 até as extremidades onde a série deixa de convergir) é
R=\sqrt{2}.
Intuitivamente, isso significa que a série em potências centrada em 0 converge para todos os x com |x|<\sqrt{2}.
Passo 5
Faltam verificar os extremos \pm\sqrt{2} (para decidir se o intervalo é aberto ou inclui extremos). Para x=\pm\sqrt{2} temos x^{2}=2, então o termo geral da série fica
Os termos não tendem a zero (são \pm 1/2 alternando), logo a série não pode convergir nesses pontos (um requisito para convergência é que o termo geral tenda a zero). Portanto as extremidades não são incluídas.
Concluímos que o intervalo de convergência real é aberto:
(-\sqrt{2},\;\sqrt{2}).
Passo 6
Resumo rápido e motivacional: você usou a série geométrica básica, fez a substituição z=-\dfrac{x^{2}}{2}, obteve os coeficientes explícitos (-1)^{n}/2^{n+1} para x^{2n} e viu que a série converge exatamente quando |x|<\sqrt{2}. Bom trabalho — essa técnica (reducão a uma série geométrica) aparece muito em provas por ser rápida e confiável.
Resposta
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2^{\,n+1}}\n\displaystyle R=\sqrt{2}\n\displaystyle \text{Intervalo de convergência: }(-\sqrt{2},\sqrt{2})ê