Considere a série f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+1)^{n} da função
f(x)=x^{11}+5 x^{6}-x^{5}+\cos (2 \pi x)
(a) Determine os coeficientes a_{0}, a_{1}, e a_{3}.
(b) Determine os coeficientes a_{n} do resto R_{10}=\sum_{n=11}^{\infty} a_{n}(x+1)^{n}.
(c) Determine o raio de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=x^{11}+5x^{6}-x^{5}+\cos(2\pi x)
em torno de x=-1. Isso significa escrever
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x+1)^{n},
onde t=x+1. Vamos usar (i) a expansão binomial de (t-1)^{k} e (ii) a série de Maclaurin de \cos(2\pi t).
Cálculo de a_{0} (termo constante, t^{0}):
– De (t-1)^{11}: \binom{11}{0}(-1)^{11}=-1.
– De 5(t-1)^{6}: 5\cdot\binom{6}{0}(-1)^{6}=5.
– De -\,(t-1)^{5}: -\binom{5}{0}(-1)^{5}=+1.
– De \cos(2\pi t): para m=0, dá 1.
Somando:
a_{0}=-1+5+1+1=6.
Passo 4
Cálculo de a_{1} (coeficiente de t^{1}):
– De (t-1)^{11}: \binom{11}{1}(-1)^{10}=11.
– De 5(t-1)^{6}: 5\cdot\binom{6}{1}(-1)^{5}=5\cdot6\cdot(-1)=-30.
– De -\,(t-1)^{5}: -\binom{5}{1}(-1)^{4}=-5.
– De \cos(2\pi t): termo ímpar é zero.
Logo
a_{1}=11-30-5=-24.
Passo 5
Cálculo de a_{3} (coeficiente de t^{3}):
– De (t-1)^{11}: \binom{11}{3}(-1)^{8}=165.
– De 5(t-1)^{6}: 5\cdot\binom{6}{3}(-1)^{3}=5\cdot20\cdot(-1)=-100.
– De -\,(t-1)^{5}: -\binom{5}{3}(-1)^{2}=-10.
– De \cos(2\pi t): termo t^{3} é zero.
Portanto
a_{3}=165-100-10=55.
Passo 6
Coeficientes do resto R_{10}=\sum_{n=11}^{\infty}a_{n}t^{n}\) onde \(t=x+1\):
– As partes polinomiais fornecem só até \(t^{11}\). Em particular, de \((t-1)^{11}\) vem \(a_{11}^{\text{(pol)}}=\binom{11}{11}(-1)^{0}=1\), e as outras não contribuem para \(n\ge11\).
– A expansão de \(\cos(2\pi t)\) dá, para todo \(n\ge0\),
\[a_{n}^{\text{(cos)}}= \begin{cases} (-1)^{m}\dfrac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!},&n=2m,\\\\ 0,&n\text{ ímpar}. \end{cases}
Logo, para (n\ge11]: a_{11}=1,\quad a_{n}= \begin{cases} (-1)^{m}\dfrac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!},&n=2m>11,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
Passo 7
O raio de convergência de cada parte é infinito:
– Polinômios convergem para todo t.
– \cos(2\pi t) é função inteira, raio \infty.
Assim o raio de convergência total é
R=\infty.
Resposta
(a) a_{0}=6\), \(a_{1}=-24\), \(a_{3}=55\).
(b) Para \(n=11\), \(a_{11}=1\). Para \(n>11\),
\[a_{n}= \begin{cases} (-1)^{m}\dfrac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!},&n=2m,\\\\ 0,&n\text{ ímpar}. \end{cases}