Resolva o seguinte problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}(t)-4 y^{\prime}(t)+4 y(t)=(h * g)(t) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.
onde h(t)=e^{-2 t} e g(t)=u_{1}(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t)-4y'(t)+4y(t)=(h * g)(t),\\\ y(0)=0,\quad y'(0)=1, \end{cases}
onde h(t)=e^{-2t} e g(t)=u_{1}(t)=u(t-1).
Este é um EDO linear de segunda ordem com termo não homogêneo dado por uma convolução. Vamos:
1. Calcular (h*g)(t) via definição de convolução.
2. Obter a função forçante f(t).
3. Resolver a EDO em dois intervalos: 0\le t<1 (força nula) e t\ge1 (força não nula).

Passo 2

Definição de convolução:
(h*g)(t)=\int_{0}^{t}h(t-s)\,g(s)\,ds =\int_{0}^{t}e^{-2(t-s)}u(s-1)\,ds.
Para t<1 não há contribuição ( u(s-1)=0 em [0,1)), então
(h*g)(t)=0,\quad t<1.
Para t\ge1 temos integração de s=1 até s=t:
(h*g)(t)=\int_{1}^{t}e^{-2(t-s)}\,ds =e^{-2t}\int_{1}^{t}e^{2s}\,ds =e^{-2t}\Bigl[\tfrac{1}{2}e^{2s}\Bigr]_{s=1}^{s=t} =\tfrac12\bigl(1-e^{2-2t}\bigr).
Logo a forçante é
f(t)=(h*g)(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<1,\\\ \tfrac12\bigl(1-e^{2-2t}\bigr),&t\ge1. \end{cases}

Passo 3

Para 0\le t<1 a EDO fica homogênea:
y''-4y'+4y=0.
A equação característica (r-2)^2=0 dá solução geral
y(t)=(A+Bt)e^{2t}.
Impondo y(0)=0\Rightarrow A=0 e y'(0)=1\Rightarrow B=1, resulta
y(t)=t\,e^{2t},\quad 0\le t<1.
Calculamos também
y(1^-)=1\cdot e^{2}=e^{2},\quad y'(t)=(1+2t)e^{2t}\;\Rightarrow\; y'(1^-)=3e^{2}.

Passo 4

Para t\ge1 a EDO é
y''-4y'+4y=\tfrac12\bigl(1-e^{2-2t}\bigr).
Escrevemos o lado direito como soma
f(t)=\tfrac12 - \tfrac12\,e^{2-2t}.
Procuramos uma particular da forma y_{p}=C_1 + K\,e^{-2t}. Substituindo:
  • Para C_1: 0-0+4C_1=\tfrac12 \Rightarrow C_1=\tfrac18.
  • Para K e^{-2t}: 16K\,e^{-2t}=-\tfrac12e^{2-2t}=-\tfrac{e^2}{2}e^{-2t} \Rightarrow K=-\tfrac{e^2}{32}.
Assim
y_{p}(t)=\tfrac18 - \tfrac{e^2}{32}e^{-2t}.
A solução geral é
y(t)=(C+Dt)e^{2t}+\tfrac18 - \tfrac{e^2}{32}e^{-2t},\quad t\ge1.

Passo 5

Impondo continuidade de y e y' em t=1:
1. y(1)=e^2:
(C+D)\,e^{2}+\tfrac18 - \tfrac{e^2}{32}e^{-2} =(C+D)e^2 + \tfrac{1}{8}-\tfrac1{32} =(C+D)e^2 + \tfrac3{32}=e^2
\Rightarrow C+D=1 - \tfrac3{32e^2}. 2. y'(1)=3e^2. De y'(t) obtemos
y'(t)=(D+2C+2Dt)e^{2t}+\tfrac{e^2}{16}e^{-2t},
logo em t=1:
(2C+3D)e^2 + \tfrac1{16}=3e^2 \;\Rightarrow\; 2C+3D=3 - \tfrac1{16e^2}.
Resolvendo o sistema:
\begin{cases} C+D=1-\tfrac3{32e^2},\\\\ 2C+3D=3-\tfrac1{16e^2}, \end{cases}
vem
D=1+\tfrac1{8e^2},\quad C=-\tfrac7{32e^2}.

Passo 6

Portanto, a solução final é
y(t)= \begin{cases} t\,e^{2t},&0\le t<1,\\[6pt] \displaystyle\Bigl(-\tfrac7{32e^2}+\bigl(1+\tfrac1{8e^2}\bigr)t\Bigr)e^{2t} +\tfrac18-\tfrac{e^2}{32}e^{-2t},&t\ge1. \end{cases}]

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t)=t\,e^{2t},
para t\ge1:
y(t)=\Bigl(-\tfrac7{32e^2}+\bigl(1+\tfrac1{8e^2}\bigr)t\Bigr)e^{2t} +\tfrac18-\tfrac{e^2}{32}e^{-2t}.

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