Diga se as séries abaixo convergem (condicionalmente ou absolutamente) ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{1+n^{3 / 2}}-n^{3 / 4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\sqrt{1+n^{3/2}}-n^{3/4}\Bigr).
O conteúdo que vamos usar é o teste comparativo assintótico: achar um equivalente simples para o termo geral e comparar com uma série p-série \sum 1/n^p.

Passo 2

Para entender o comportamento de
a_n = \sqrt{1+n^{3/2}}-n^{3/4},
racionalizamos a diferença multiplicando pelo conjugado:
a_n = \frac{\bigl(\sqrt{1+n^{3/2}}-n^{3/4}\bigr)\bigl(\sqrt{1+n^{3/2}}+n^{3/4}\bigr)}{\sqrt{1+n^{3/2}}+n^{3/4}} = \frac{1+n^{3/2}-n^{3/2}}{\sqrt{1+n^{3/2}}+n^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt{1+n^{3/2}}+n^{3/4}}.

Passo 3

Para n grande, n^{3/2} domina o 1, logo
\sqrt{1+n^{3/2}}\sim n^{3/4},
e o denominador em a_n fica aproximadamente
\sqrt{1+n^{3/2}}+n^{3/4}\sim 2\,n^{3/4}.
Assim obtemos o equivalente
a_n \sim \frac{1}{2\,n^{3/4}}.

Passo 4

Como \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{3/4}} é uma p-série com p=\tfrac34<1, ela diverge. Pelo teste de comparação assintótico, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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