Considere a série
, onde
. Determine, precisamente, para que valores de
a série é convergente e divergente. No caso de ser convergente, determine para que valor a série converge.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (i) para quais valores de
a série
converge ou diverge; (ii) quando convergir, determinar o valor para o qual a série converge. Vou tomar a convenção natural
, ou seja, estamos considerando a série
. As informações relevantes são:
- o termo geral da série é
, dependendo do parâmetro real ; - tratamos da soma infinita dos termos, definida via limites das somas parciais;
- o objetivo é classificar convergência/divergência e, se convergente, achar a soma.
Passo 2
O que significa “a série converge”? Significa que a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
. Ou seja, a série converge se existir
Se essa sequência de somas parciais não tiver limite finito (por exemplo divergir para
ou oscilar sem limite), a série diverge.
Passo 3
Vamos calcular a soma parcial
de forma fechada (fórmula da soma geométrica). Considere
. Multiplicando por
e subtraindo obtemos uma forma simples:
Subtraindo,
Fatorando
. Para
temos então a fórmula
Esta é a expressão exata da soma dos primeiros
termos quando
. (Se
, claramente
.)
Passo 4
Analisar o caso
. Para
sabemos que
quando
. Usando a fórmula de
para
,
Portanto, quando
a sequência das somas parciais converge e a série converge exatamente para
Explicando cada símbolo:
é o parâmetro real dado;
é o número real limite das somas parciais.
Passo 5
Analisar o caso
. Aqui cada termo
, então
. Como
temos
. Logo a série diverge (cresce sem bound).
Passo 6
Analisar o caso
A sequência
e
, portanto não tem limite quando
. Logo a série diverge (oscila).
Passo 7
Analisar o caso
. Um teste simples e necessário para convergência de qualquer série é que o termo geral deve tender a zero:
Aqui
. Se
, então
, em particular
. Logo a série não pode convergir; mais precisamente as somas parciais divergem (os termos não tendem a zero).
Passo 8
Resumo dos casos (já demonstrados):
- Para
a série converge e a soma é . - Para
a série diverge (somas parciais tendem a ). - Para
a série diverge (somas parciais oscilam entre e ). - Para
a série diverge porque os termos não tendem a zero.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se
(que satisfaz
), então a soma é
Resposta
A série converge se
; nesse caso
A série diverge se (com
divergindo para
,
com somas parciais oscilantes, e
porque os termos não tendem a zero).
A série diverge se