(1,0) Considere a série \sum_{n \in \mathbb{N}} r^{n}, onde r \in \mathbb{R}. Determine, precisamente, para que valores de r a série é convergente e divergente. No caso de ser convergente, determine para que valor a série converge.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (i) para quais valores de r\in\mathbb{R} a série \sum_{n\in\mathbb{N}} r^{n} converge ou diverge; (ii) quando convergir, determinar o valor para o qual a série converge. Vou tomar a convenção natural \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, ou seja, estamos considerando a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}. As informações relevantes são:
  • o termo geral da série é r^{n}, dependendo do parâmetro real r;
  • tratamos da soma infinita dos termos, definida via limites das somas parciais;
  • o objetivo é classificar convergência/divergência e, se convergente, achar a soma.

Passo 2

O que significa “a série converge”? Significa que a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}
tem limite finito quando N\to\infty. Ou seja, a série converge se existir
\lim_{N\to\infty} S_N \in \mathbb{R}.
Se essa sequência de somas parciais não tiver limite finito (por exemplo divergir para \pm\infty ou oscilar sem limite), a série diverge.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial S_N de forma fechada (fórmula da soma geométrica). Considere S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}. Multiplicando por r e subtraindo obtemos uma forma simples:
rS_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n+1}=\sum_{n=2}^{N+1} r^{n}.
Subtraindo,
S_N - rS_N = \sum_{n=1}^{N} r^{n} - \sum_{n=2}^{N+1} r^{n} = r^{1}-r^{N+1}.
Fatorando S_N(1-r)=r - r^{N+1}. Para r\neq 1 temos então a fórmula
S_N=\frac{r-r^{N+1}}{1-r}.
Esta é a expressão exata da soma dos primeiros N termos quando r\neq 1. (Se r=1, claramente S_N=\sum_{n=1}^N 1 = N.)

Passo 4

Analisar o caso |r|<1. Para |r|<1 sabemos que r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Usando a fórmula de S_N para r\neq1,
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \frac{r-r^{N+1}}{1-r} = \frac{r-0}{1-r}=\frac{r}{1-r}.
Portanto, quando |r|<1 a sequência das somas parciais converge e a série converge exatamente para
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Explicando cada símbolo: r é o parâmetro real dado; \frac{r}{1-r} é o número real limite das somas parciais.

Passo 5

Analisar o caso r=1. Aqui cada termo r^{n}=1, então S_N=\sum_{n=1}^{N}1=N. Como N\to\infty temos S_N\to\infty. Logo a série diverge (cresce sem bound).

Passo 6

Analisar o caso r=-1\). Os termos são \(r^{n}=(-1)^{n}\). As somas parciais valem \[S_N=\sum_{n=1}^{N} (-1)^{n} = \begin{cases} -1, & \text{se }N\text{ é ímpar},\\\\ 0, & \text{se }N\text{ é par}. \end{cases}
A sequência (S_N)\] alterna entre \(-1 e 0, portanto não tem limite quando N\to\infty. Logo a série diverge (oscila).

Passo 7

Analisar o caso |r|>1. Um teste simples e necessário para convergência de qualquer série é que o termo geral deve tender a zero:
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge, então } a_n\to 0.ã
Aqui a_n=r^{n}. Se |r|>1, então |r^{n}|=|r|^{n}\to\infty, em particular r^{n}\not\to 0. Logo a série não pode convergir; mais precisamente as somas parciais divergem (os termos não tendem a zero).

Passo 8

Resumo dos casos (já demonstrados):
  • Para |r|<1 a série converge e a soma é \dfrac{r}{1-r}.
  • Para r=1 a série diverge (somas parciais tendem a +\infty).
  • Para r=-1 a série diverge (somas parciais oscilam entre -1 e 0).
  • Para |r|>1 a série diverge porque os termos r^{n} não tendem a zero.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se r=\tfrac{1}{2} (que satisfaz |r|<1), então a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} = \frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}} = \frac{1/2}{1/2}=1.

Resposta

A série converge se |r|<1; nesse caso \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
A série diverge se |r|\ge 1 (com r=1 divergindo para +\infty, r=-1 com somas parciais oscilantes, e |r|>1 porque os termos não tendem a zero).

Exercícios relacionados