★ Seja g(x, y)=f\left(x^{2}+y^{2}\right), onde f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Mostre que
y \frac{\partial g}{\partial x}-x \frac{\partial g}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
g(x,y)=f\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
onde f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável (ou seja, f' existe em todos os pontos). O que se pede é provar a igualdade
y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função g é obtida por composição de f com a função u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • f é diferenciável, logo a derivada f' existe e pode ser avaliada em qualquer número real.
  • Não há restrições adicionais sobre x e y; o resultado deve valer para todo (x,y).

Passo 2

Defino a função interior (a parte que depende de x,y):
u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Aqui u:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é uma função que, para cada ponto (x,y), retorna o número x^{2}+y^{2}. Vamos calcular as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Explicação: derivar x^{2} em relação a x 2x (tratando y como constante), e derivar y^{2} em relação a x 0. Analogamente para a derivada em relação a y.

Passo 3

Aplico a regra da cadeia para derivadas parciais (vou explicar a regra com calma). Se g(x,y)=f\bigl(u(x,y)\bigr), com f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável e u:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} diferenciável, então as derivadas parciais de g são dadas por
\frac{\partial g}{\partial x}=f'\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=f'\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
O que isso quer dizer na prática: para saber como g muda quando x varia, primeiro verifico como a variável intermediária u muda com x ( \partial u/\partial x), e depois multiplico pela taxa com que f muda quando seu argumento muda ( f' avaliado em u(x,y)). Notação: f'\bigl(u(x,y)\bigr) é a derivada de f avaliada no número u(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Agora uso os resultados dos passos anteriores: substituo \partial u/\partial x=2x e \partial u/\partial y=2y na regra da cadeia. Obtenho
\frac{\partial g}{\partial x}=f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2y.
Aqui f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) é apenas um fator comum que depende de x e y através de x^{2}+y^{2}.

Passo 5

Agora calculo a combinação pedida e simplifying passo a passo:
y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y} = y\bigl(2x\,f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr) - x\bigl(2y\,f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr).
Coloco 2\,f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) em evidência:
y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y} = 2\,f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl(xy - xy\bigr).
Como xy-xy=0, segue que
y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.

Passo 6

Interpretação (um pouquinho de intuição para guardar na cabeça): g depende apenas de r=x^{2}+y^{2}, ou seja, é radial — tem o mesmo valor em toda a circunferência centrada na origem com raio fixo. A expressão y\partial_x - x\partial_y corresponde à derivada direcional na direção tangente às circunferências (é a componente angular). Como g é constante sobre cada circunferência, sua variação nessa direção tangente é zero — é o mesmo resultado que obtivemos por cálculo explícito. Força e coragem: essa é uma identidade muito útil para funções radiais!

Resposta

y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0

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