★ Seja
, onde
é uma função diferenciável. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
é diferenciável (ou seja,
existe em todos os pontos). O que se pede é provar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é obtida por composição de com a função . -
é diferenciável, logo a derivada existe e pode ser avaliada em qualquer número real. - Não há restrições adicionais sobre
e ; o resultado deve valer para todo .
Passo 2
Defino a função interior (a parte que depende de
):
Aqui
é uma função que, para cada ponto
, retorna o número
. Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Explicação: derivar
em relação a
dá
(tratando
como constante), e derivar
em relação a
dá
. Analogamente para a derivada em relação a
.
Passo 3
Aplico a regra da cadeia para derivadas parciais (vou explicar a regra com calma). Se
, com
diferenciável e
diferenciável, então as derivadas parciais de
são dadas por
O que isso quer dizer na prática: para saber como
muda quando
varia, primeiro verifico como a variável intermediária
muda com
(
), e depois multiplico pela taxa com que
muda quando seu argumento muda (
avaliado em
). Notação:
é a derivada de
avaliada no número
.
Passo 4
Agora uso os resultados dos passos anteriores: substituo
e
na regra da cadeia. Obtenho
Aqui
é apenas um fator comum que depende de
e
através de
.
Passo 5
Agora calculo a combinação pedida e simplifying passo a passo:
Coloco
em evidência:
Como
, segue que
Passo 6
Interpretação (um pouquinho de intuição para guardar na cabeça):
depende apenas de
, ou seja, é radial — tem o mesmo valor em toda a circunferência centrada na origem com raio fixo. A expressão
corresponde à derivada direcional na direção tangente às circunferências (é a componente angular). Como
é constante sobre cada circunferência, sua variação nessa direção tangente é zero — é o mesmo resultado que obtivemos por cálculo explícito. Força e coragem: essa é uma identidade muito útil para funções radiais!