(1,0) Se \sum_{n \in \mathbb{N}}\left(a_{n}\right)^{2} converge, prove que \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_{n}}{n} é série convergente;

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede o que segue:
  • Informação dada: a série \sum_{n\in\mathbb{N}} \left(a_{n}\right)^{2} converge (isto é, os termos \left(a_n\right)^2 formam uma série de soma finita).
  • Pergunta: provar que a série \sum_{n\in\mathbb{N}} \dfrac{a_{n}}{n} é convergente.
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 converge.
  • Queremos mostrar que os somatórios parciais de \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{n} têm limite finito (ou, equivalentemente, que as caudas da série vão a zero segundo o critério de Cauchy).

Passo 2

Apresentar (e ensinar) a desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas, que será a ferramenta principal.
Enunciado da desigualdade (para ser usada em somas finitas): para quaisquer números reais (ou complexos) x_1,\dots,x_m e y_1,\dots,y_m vale
\left(\sum_{k=1}^{m} x_k y_k\right)^{2} \le \left(\sum_{k=1}^{m} x_k^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{m} y_k^{2}\right).
O que cada símbolo significa:
  • x_k e y_k são termos de duas sequências quaisquer;
  • as somas \sum x_k^2 e \sum y_k^2 são somas finitas (até m).
Breve prova elementar da desigualdade (fácil de decorar para a prova): considere a função quadrática em t,
Q(t)=\sum_{k=1}^{m} (x_k t - y_k)^2 \ge 0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Expandindo,
Q(t)=\left(\sum_{k=1}^{m} x_k^2\right)t^2 - 2\left(\sum_{k=1}^{m} x_k y_k\right)t + \left(\sum_{k=1}^{m} y_k^2\right).
Como Q(t)\ge0 para todo t, o discriminante desta quadrática é não-positivo, ou seja
\left(2\sum_{k=1}^{m} x_k y_k\right)^2 - 4\left(\sum_{k=1}^{m} x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{m} y_k^2\right)\le0,
o que simplifica exatamente para
\left(\sum_{k=1}^{m} x_k y_k\right)^{2} \le \left(\sum_{k=1}^{m} x_k^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{m} y_k^{2}\right).
Fim da prova. Intuição rápida: é a versão algébrica do fato geométrico de que o produto escalar é menor ou igual ao produto das normas.

Passo 3

Aplicar Cauchy–Schwarz aos somatórios parciais da série que queremos estudar.
Defina as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{a_n}{n}.
Para mostrar que \sum \dfrac{a_n}{n} converge, é suficiente mostrar que a sequência (S_N) é de Cauchy, isto é: para todo \varepsilon>0 existe M tal que, para todo N>M,
\left|S_N - S_M\right| = \left|\sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}\right| < \varepsilon.
Agora aplique Cauchy–Schwarz à soma finita \sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}. Tome x_n=a_n e y_n=\dfrac{1}{n} para n=M+1,\dots,N. Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas obtemos
\left|\sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}\right|^{2} \le \left(\sum_{n=M+1}^{N} a_n^{2}\right)\left(\sum_{n=M+1}^{N}\frac{1}{n^{2}}\right).
Tomando raiz quadrada em ambos os lados,
\left|\sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}\right| \le \sqrt{\sum_{n=M+1}^{N} a_n^{2}}\;\sqrt{\sum_{n=M+1}^{N}\frac{1}{n^{2}}}.

Passo 4

Explorar o comportamento das duas somas à direita quando M\to\infty.
  • Pelo hipótese sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{2} converge. Logo os restos (as caudas) tendem a zero:
\sum_{n=M+1}^{\infty} a_n^{2} \xrightarrow[M\to\infty]{} 0.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} é convergente (é a p-série com p=2>1); em particular tem soma finita, digamos \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}. Assim as caudas \sum_{n=M+1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} também tendem a zero quando M\to\infty. Mais importante para nós é que essas caudas são finitas e majoradas por \dfrac{\pi^{2}}{6}.
Combine essas observações com a desigualdade do Passo 3: para todo N>M,
\left|\sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}\right| \le \sqrt{\sum_{n=M+1}^{\infty} a_n^{2}}\;\sqrt{\sum_{n=M+1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}.
O produto do lado direito tende a 0 quando M\to\infty, porque \sqrt{\sum_{n=M+1}^{\infty} a_n^{2}}\to0 e \sqrt{\sum_{n=M+1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}} é finito (ou também tende a 0, o que só reforça).
Portanto, para dado \varepsilon>0 existe M tal que, para todo N>M,
\left|\sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}\right|<\varepsilon.
Isto é exatamente a condição de Cauchy para a sequência de somas parciais (S_N), logo (S_N) converge. Consequentemente, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n}{n} é convergente.

Passo 5

Comentário intuitivo e exemplo curto (para fixar): a sequência (a_n) pertence a \ell^2 (porque \sum a_n^2<\infty) e a sequência \big(1/n\big) também pertence a \ell^2. O que fizemos foi mostrar que o “produto interno” entre duas sequências em \ell^2 é bem definido e finito — essa é a mesma ideia da desigualdade de Cauchy–Schwarz no espaço \ell^2. Exemplo simples: se a_n=1/n então \sum a_n^2=\sum 1/n^2 converge e \sum a_n/n=\sum 1/n^2 também converge.

Resposta

A série \sum_{n\in\mathbb{N}} \dfrac{a_{n}}{n} é convergente.

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