(1,0) Se \sum_{n \in \mathbb{N}}\left(a_{n}\right)^{2} converge, prove que \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_{n}}{n} é série convergente;
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede o que segue:
Informação dada: a série \sum_{n\in\mathbb{N}} \left(a_{n}\right)^{2} converge (isto é, os termos \left(a_n\right)^2 formam uma série de soma finita).
Pergunta: provar que a série \sum_{n\in\mathbb{N}} \dfrac{a_{n}}{n} é convergente.
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 converge.
Queremos mostrar que os somatórios parciais de \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{n} têm limite finito (ou, equivalentemente, que as caudas da série vão a zero segundo o critério de Cauchy).
Passo 2
Apresentar (e ensinar) a desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas, que será a ferramenta principal.
Enunciado da desigualdade (para ser usada em somas finitas): para quaisquer números reais (ou complexos) x_1,\dots,x_m e y_1,\dots,y_m vale
Fim da prova. Intuição rápida: é a versão algébrica do fato geométrico de que o produto escalar é menor ou igual ao produto das normas.
Passo 3
Aplicar Cauchy–Schwarz aos somatórios parciais da série que queremos estudar.
Defina as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{a_n}{n}.
Para mostrar que \sum \dfrac{a_n}{n} converge, é suficiente mostrar que a sequência (S_N) é de Cauchy, isto é: para todo \varepsilon>0 existe M tal que, para todo N>M,
Agora aplique Cauchy–Schwarz à soma finita \sum_{n=M+1}^{N}\frac{a_n}{n}. Tome x_n=a_n e y_n=\dfrac{1}{n} para n=M+1,\dots,N. Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas obtemos
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} é convergente (é a p-série com p=2>1); em particular tem soma finita, digamos \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}. Assim as caudas \sum_{n=M+1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} também tendem a zero quando M\to\infty. Mais importante para nós é que essas caudas são finitas e majoradas por \dfrac{\pi^{2}}{6}.
Combine essas observações com a desigualdade do Passo 3: para todo N>M,
O produto do lado direito tende a 0 quando M\to\infty, porque \sqrt{\sum_{n=M+1}^{\infty} a_n^{2}}\to0 e \sqrt{\sum_{n=M+1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}} é finito (ou também tende a 0, o que só reforça).
Portanto, para dado \varepsilon>0 existe M tal que, para todo N>M,
Isto é exatamente a condição de Cauchy para a sequência de somas parciais (S_N), logo (S_N) converge. Consequentemente, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n}{n} é convergente.
Passo 5
Comentário intuitivo e exemplo curto (para fixar): a sequência (a_n) pertence a \ell^2 (porque \sum a_n^2<\infty) e a sequência \big(1/n\big) também pertence a \ell^2. O que fizemos foi mostrar que o “produto interno” entre duas sequências em \ell^2 é bem definido e finito — essa é a mesma ideia da desigualdade de Cauchy–Schwarz no espaço \ell^2. Exemplo simples: se a_n=1/n então \sum a_n^2=\sum 1/n^2 converge e \sum a_n/n=\sum 1/n^2 também converge.
Resposta
A série \sum_{n\in\mathbb{N}} \dfrac{a_{n}}{n} é convergente.