Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
a) É uma série geométrica?
b) Qual é a razão r ?
c) A série converge? Se sim, qual a sua soma?

Passo 1

O enunciado apresenta a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} 3\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}
e pede para identificar se ela é uma série geométrica, qual é sua razão r, e se converge (e, em caso afirmativo, qual é sua soma). O conteúdo principal envolve definição de série geométrica, critério de convergência para \lvert r\rvert<1 e fórmula da soma quando converge.

Passo 2

Para verificar se é uma série geométrica, lembramos que uma série é geométrica se seu termo geral pode ser escrito como
a_n = a\,r^{\,n-1}
para algum a (primeiro termo) e certa razão r. Aqui o termo geral é
a_n = 3\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.
Podemos escrever
3\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} = 3\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1} = \Bigl(\tfrac32\Bigr)\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.
Isso mostra que é uma série geométrica com primeiro termo a=\tfrac32 e razão r=\tfrac12.

Passo 3

Respondendo às duas primeiras perguntas:
a) Sim, é uma série geométrica.
b) A razão é
r = \tfrac12.

Passo 4

A convergência de uma série geométrica \sum a\,r^{\,n-1} ocorre exatamente quando \lvert r\rvert<1. Aqui \lvert\tfrac12\rvert<1, logo a série converge. A soma de uma série geométrica convergente é
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1} = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a=\tfrac32 e r=\tfrac12, obtemos
\frac{\tfrac32}{1-\tfrac12} = \frac{\tfrac32}{\tfrac12} = 3.

Resposta

a) Sim.
b) r=\tfrac12.
c) Converge e sua soma é 3.

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