Considere a série
.
a) É uma série geométrica?
b) Qual é a razão
?
c) A série converge? Se sim, qual a sua soma?
a) É uma série geométrica?
b) Qual é a razão
c) A série converge? Se sim, qual a sua soma?
Passo 1
O enunciado apresenta a série numérica
e pede para identificar se ela é uma série geométrica, qual é sua razão
, e se converge (e, em caso afirmativo, qual é sua soma). O conteúdo principal envolve definição de série geométrica, critério de convergência para
e fórmula da soma quando converge.
Passo 2
Para verificar se é uma série geométrica, lembramos que uma série é geométrica se seu termo geral pode ser escrito como
para algum
(primeiro termo) e certa razão
. Aqui o termo geral é
Podemos escrever
Isso mostra que é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
.
Passo 3
Respondendo às duas primeiras perguntas:
a) Sim, é uma série geométrica.
b) A razão é
a) Sim, é uma série geométrica.
b) A razão é
Passo 4
A convergência de uma série geométrica
ocorre exatamente quando
. Aqui
, logo a série converge. A soma de uma série geométrica convergente é
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
a) Sim.
b) .
c) Converge e sua soma é .
b)
c) Converge e sua soma é