Considere
.
a) A série é geométrica?
b) A série converge?
c) Qual a sua soma?
a) A série é geométrica?
b) A série converge?
c) Qual a sua soma?
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pergunta se ela é geométrica, se converge e qual é a sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica: vamos usar a definição de série geométrica, o critério de convergência
e a fórmula da soma.
Passo 2
Uma série é geométrica se seu termo geral puder ser escrito como
ou equivalentemente se houver uma razão constante
tal que cada termo seja o anterior multiplicado por
. No nosso caso o termo geral é
Podemos reescrever isso como
Portanto, sim, é uma série geométrica de razão
.
Passo 3
O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se,
Como aqui
, concluímos que a série realmente converge.
Passo 4
Para séries geométricas com primeiro termo
e razão
, a soma é
No nosso caso
e
, então
Resposta
(a) Sim, é uma série geométrica de razão
.
(b) Sim, ela converge pois .
(c) A soma é .
(b) Sim, ela converge pois
(c) A soma é