Considere \sum_{n=1}^{\infty} 5 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}.
a) A série é geométrica?
b) A série converge?
c) Qual a sua soma?

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} 5 \cdot \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}
e pergunta se ela é geométrica, se converge e qual é a sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica: vamos usar a definição de série geométrica, o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula da soma.

Passo 2

Uma série é geométrica se seu termo geral puder ser escrito como
a\cdot r^{\,n-1}
ou equivalentemente se houver uma razão constante r tal que cada termo seja o anterior multiplicado por r. No nosso caso o termo geral é
5\cdot\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}
Podemos reescrever isso como
a\cdot r^{\,n-1} \quad\text{com}\quad a = 5\cdot\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr) \quad\text{e}\quad r = \tfrac{3}{4}.
Portanto, sim, é uma série geométrica de razão r=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se,
\lvert r\rvert < 1.
Como aqui \lvert\tfrac{3}{4}\rvert = 0,75 < 1, concluímos que a série realmente converge.

Passo 4

Para séries geométricas com primeiro termo a_1 e razão r, a soma é
S = \frac{a_1}{1 - r}.
No nosso caso a_1 = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) e r=\tfrac{3}{4}, então
S = \frac{5\cdot\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{1 - \tfrac{3}{4}} = \frac{\tfrac{15}{4}}{\tfrac{1}{4}} = 15.

Resposta

(a) Sim, é uma série geométrica de razão r = \tfrac{3}{4}.
(b) Sim, ela converge pois \lvert r\rvert = 0,75 < 1.
(c) A soma é 15.

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